Question

2．2017年亚东会单板滑雪男子、女子U型池比赛中，中国选手包揽了男女组冠军．U型池由两个完全相同的$\frac{1}{4}$圆弧轨道AB、CD以及水平滑道BC构成，圆弧滑道的半径R=3.5m，B、C分别为圆弧滑道的最低点，B、C间的距离s=7.5m，如图所示．设某次比赛中，运动员连同滑板的质量m=50kg，运动员经过水平滑道B点时水平向右的速度v_B=15m/s，到达C点时对圆弧滑道的压力为7mg，离开D点后经过0.8s上升到最高点．将运动员视为质点，忽略空气阻力的影响，取g=10m/s²，求：
（1）滑板与水平轨道BC间的动摩擦因数；
（2）从C到D的过程中，运动员克服阻力做的功．

Answer 1

分析 （1）从B到C运用动能定理，对小球在C点进行受力分析，沿半径方向的合力提供向心力，根据到达C点时对圆弧滑道的压力为7mg，利用牛顿第二定律与牛顿第三定律，联立即可求出滑板与水平轨道BC间的动摩擦因数；
（2）利用（1）问的μ值求出v_C大小，再对竖直上抛过程应用运动学公式求出D点时的速度v_D，然后再对运动员从C运动到D运用动能定理，即可求出从C到D的过程中运动员克服阻力做的功；

解答 解：（1）设运动员经过C点时的速度为v_C，画板与水平滑道间的动摩擦因数为μ，
由动能定理有：-μmgs=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$…①
到达C点时，设圆弧滑道对运动员的支持力大小为F_N，运动员对圆弧滑道的压力大小为F_N′，
由牛顿第三定律可得：F_N=F_N′=7mg…②
根据牛顿第二定律可得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$…③
联立①②③式解得：μ=0.1…④
（2）联立①④式子可得：v_C=$\sqrt{210}$m/s…⑤
运动员离开D点后，在空中做竖直上抛运动，设运动员在D点速度为v_D，
根据竖直上抛规律可得：0=v_D-gt
解得：v_D=8m/s…⑥
设从C运动到D的过程中运动员克服阻力做的功为W_f，
由动能定理可得：-mgR-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$…⑦
联立⑤⑥⑦式解得：W_f=1900J
答：（1）滑板与水平轨道BC间的动摩擦因数为0.1；
（2）从C到D的过程中，运动员克服阻力做的功为1900J．

点评 本题考查动能定理的综合运用，正确进行受力分析和运动过程分析，然后灵活选取相应的物理规律，是解决问题的关键．