Question

17．如图所示，一传动带长L=16m，以v₀=10m/s的速度逆时针匀速转动，传送带与水平方向的夹角θ=37°，将一个小物体质量m=1kg，由传动带顶端静止释放，已知小物体与传动带之间的动摩擦因数μ=0.5，求小物体由斜面顶端滑至底端所用时间和整个过程中产生的热量．（g=10m/s²）

Answer 1

分析 物体在传送带上受到重力、支持力和滑动摩擦力作用，先做初速度为0的匀加速直线运动，当速度和传送带速度相等时，判断物体跟随传送带匀速还是单独做匀变速直线运动，根据总位移为16m，可以求出整个运动过程的时间t．根据相对位移求解产生的热量．

解答 解：物体放上传送带以后，开始一段时间所受的滑动摩擦力方向沿传送带向下，受力如下图所示

则：N=mgcos37°
F_合=mgsin37°+μN=mgsin37°+μmgcos37°
由牛顿第二定律得：F_合=ma
可得加速度 a=gsin37°+μgcos37°=10×（0.6+0.5×0.8）=10m/s²；
当物体的速度达到10m/s时，所用的时间和对应的位移分别为：
  t₁=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{10}{10}$s=1s
  x₁=$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{1}$=$\frac{10}{2}$×1m=5m＜L=16m
物块与传送带共速时，由于μ＜tan37°，所以此后物块相对传送带继续匀加速下滑．物体受到的摩擦力变为沿传送带向上，受力如下图所示

则根据牛顿第二定律得：mgsin37°-μmgcos37°=ma′
得加速度大小为：a′=2m/s²．
设物体完成剩余的位移所用的时间为t₂．则 L-x₁=v₀t₂+$\frac{1}{2}$a′t₂²
即为：16-5=10t₂+$\frac{1}{2}$×2×t₂²
解得：t₂=1s
所以总时间为：t=t₁+t₂=1s+1s=2s
整个过程中产生的热量为：Q=μmgcos37°（v₀t₁-x₁）+μmgcos37°（L-x₁-v₀t₂）
代入数据解得 Q=24J
答：小物体由斜面顶端滑至底端所用时间是2s，整个过程中产生的热量是24J．

点评 解决本题的关键是理清物体在传送带上的运动规律，根据动摩擦因数与tan37°的大小判断物体的运动情况，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解．要知道摩擦生热与相对位移有关．