Question

1．如图所示，一对平行金属板MM′、NN′水平放置．板长L=0.4m．板间距离d=0.4m．将两板接在-个电压可以调节的电源上（圈中未画出）．MM′接电源的正极．在两板的右侧存在水平方向的匀强磁场．磁场的方向垂直于纸面向里．磁感应强度的大小B=0 25T．NN′在磁场的左侧边界上，磁场的右侧边界竖直放置-个足够长的光屏，磁场的宽度L′=0.2m，现有比荷为为$\frac{q}{m}$=2×10⁵c/kg的带正电的粒子束．沿两扳的中轴线00′以相同的速度不停地射入，当两板之间的电压为0V时，粒子刚好不能打在光屏上．不计粒子重力．
（1）带电粒子的初速度为多大？
（2）要使粒子能从两板MM′、NN′之间射出，加在两板之同的电压范围为多大？
（3）如果从零开始连续调节两板所接电源（内阻不计）的电压，粒子打在光屏上的位置将会发生变化，那么，粒子束打在光屏上的区域的长度是多少？（保留根号）

Answer 1

分析 （1）带电粒子在磁场中发生偏转，当运动的轨迹刚好与屏相切时，粒子刚好不能打在光屏上，由洛伦兹力提供向心力即可解答；
（2）带电粒子在电场中发生偏转，由平抛运动的规律，即可求解；
（3）根据带电粒子在磁场中运动的规律和从电场中射出时速度的方向，判断出能打到光屏的位置．

解答 解：（1）当两板之间的电压为0V时，粒子沿直线方向穿过电场的区域，带电粒子在磁场中发生偏转，由洛伦兹力提供向心力，得：
$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
当运动的轨迹刚好与屏相切时，粒子刚好不能打在光屏上，则：r=L′
所以，粒子的初速度：${v}_{0}=\frac{qBL′}{m}$
代入数据得：${v}_{0}=1{0}^{4}$m/s
（2）由图可知电场的方向向下，正电荷在电场中受到的电场力的方向向下，当粒子恰好从N′点射出时，偏转量：$y=\frac{1}{2}d=\frac{1}{2}×0.4m=0.2$m
水平方向：L=v₀t
粒子受到的电场力：$F=qE=\frac{q{U}_{m}}{d}$
粒子的加速度：$a=\frac{F}{m}$
偏转量：$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
联立方程，整理得：${U}_{m}=\frac{2ym{v}_{0}^{2}d}{q{L}^{2}}=500$V
加在两板之同的电压范围为U≤500V
（3）正电荷在磁场中受到的安培力的方向向左，当偏转电等于0时，粒子打在光屏上的位置在最上面，当偏转电压是500V时，粒子的位置在最下面，如图：
粒子沿竖直方向的分速度：${v}_{y}=at=\frac{q{U}_{m}}{md}•\frac{L}{{v}_{0}}=1{0}^{4}$m/s
粒子在电场中的偏转角：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=1$
所以偏转角：θ=45°
粒子的合速度：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{2}×1{0}^{4}$m/s
此时，粒子在磁场中的偏转半径：$r′=\frac{mv}{qB}=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}=\sqrt{2}L′$=$\sqrt{2}$0.2m，由几何关系可得，此时粒子做匀速圆周运动的圆心在O′点，如图，则打在光屏上的位置到O′点的距离是r′，粒子束打在光屏上的区域的长度（绿色线）是：x=r+r′=0.2m+0.2$\sqrt{2}$m≈0.48m
答：（1）带电粒子的初速度为${v}_{0}=1{0}^{4}$m/s．
（2）要使粒子能从两板MM′、NN′之间射出，加在两板之同的电压范围为U≤500V
（3）如果从零开始连续调节两板所接电源（内阻不计）的电压，粒子打在光屏上的位置将会发生变化，那么，粒子束打在光屏上的区域的长度是0.48m

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程，正确画出粒子运动的轨迹是正确解题的前提与关键．