Question

13．若我国宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面高为h处自由释放小球，经过时间t，小球落至月球表面．已知月球半径为R，万有引力常量为G．求：
（1）月球的质量M；
（2）月球的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）先根据自由落体运动的知识求出月球表面的重力加速度，再根据月球表面重力等于万有引力列式求解．
（2）第一宇宙速度等于贴近星球表面做匀速圆周运动的线速度，根据万有引力提供向心力求出月球的第一宇宙速度；

解答 解：（1）由自由落体运动：
$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
由万有引力定律：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
解得：$M=\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$
（2）根据万有引力等于向心力：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$v=\sqrt{gR}=\frac{1}{t}\sqrt{2hR}$
答：（1）月球的质量M为$\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$；
（2）月球的第一宇宙速度v为$\frac{1}{t}\sqrt{2hR}$

点评 本题关键是要抓住星球表面处物体的重力等于万有引力，求得重力加速度，运用自由落体运动的知识求出重力加速度，以及卫星所受的万有引力提供向心力进行列式求解