Question

8．两颗同轨道卫星1和卫星2均绕地心O做匀速圆运动，轨道半径均为r，某时刻两颗卫星分别位于轨道上的A、B两位置，如图所示．若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力．以下判断中正确的是（　　）

• A． 此时这两颗卫星的速度一定相同
• B． 此时这两颗卫星的向心加速度一定相同
• C． 如果仅使卫星1加速，它就一定能追上卫星2
• D． 卫星1由位置A运动至位罝B所需的时间为$\frac{πr}{3R}\sqrt{\frac{r}{g}}$

Answer 1

分析 卫星绕地心O做匀速圆运动，由万有引力提供卫星圆周运动的向心力，通过列式分析速度和加速度的关系．卫星通过做近心运动或离心运动来实现轨道位置的调整．根据卫星1的周期，求卫星1由位置A运动至位罝B所需的时间．

解答 解：AB、卫星绕地球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力，得：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
可得：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
可知，卫星的轨道半径相同，速度和向心加速度的大小一定相等，但速度和加速度的方向不同，所以速度和加速度不同，故AB错误．
C、仅使卫星1加速，其所需要的向心力增大，而万有引力不变，则卫星1将做离心运动，轨道半径增大，故不能追上同轨道上的卫星2，故C错误．
D、在地球的表面，有：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，则得：GM=gR²，结合T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，得：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{g{R}^{2}}}$=$\frac{2πr}{R}$$\sqrt{\frac{r}{R}}$
卫星1由位置A运动至位罝B所需的时间为：t=$\frac{1}{6}$T=$\frac{πr}{3R}\sqrt{\frac{r}{g}}$．故D正确．
故选：D

点评 本题主要考查了万有引力应用问题，掌握星球表面重力与万有引力相等，知道环绕天体绕中心天体做圆周运动时，由万有引力提供向心力．