题目内容
11．由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7000米分别排在第一、第二．若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G．“蛟龙”下潜深度为d，天宫一号轨道距离地面高度为h，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，求：（1）“天宫一号”绕地心转一周的时间是多少？
（2）“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为多少？
（3）设想地球的密度不变，自转周期不变，但地球球体半径变为原来的一半，仅考虑地球和同步卫星之间的相互作用力，则该“设想地球”的同步卫星的轨道半径与以前地球的同步卫星轨道半径的比值是多少？
分析 （1）根据万有引力提供向心力，以及万有引力等于重力，求出）“天宫一号”绕地心转一周的时间；
（2）根据万有引力等于重力求出天宫一号所处位置的重力加速度，在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于（R-d）的球体对表面物体的万有引力，从而求出“蛟龙”号所在处的重力加速度，得出重力加速度之比．
（3）根据万有引力提供向心力，抓住地球质量的变化求出轨道半径之比．
解答 解：（1）根据万有引力提供向心力有：$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$，根据万有引力等于重力有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，解得：$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$．
（2）令地球的密度为ρ，对天宫一号：$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=mg$，又：$M=ρ•\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$，则：$g=\frac{4ρGπ{R}_{\;}^{3}}{3（R+h）_{\;}^{2}}$，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于（R-d）的球体对其表面物体的万有引力，故“蛟龙号”所在处的重力加速度$g′=\frac{4}{3}πGρ（R-d）$，所以有$\frac{g′}{g}=\frac{（R+h）_{\;}^{2}（R-d）}{{R}_{\;}^{3}}$．
（3）地球对同步卫星的万有引力提供同步卫星所需的向心力$G\frac{{M}_{1}^{\;}m}{{r}_{1}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{1}^{\;}$，$G\frac{{M}_{2}^{\;}m}{{r}_{2}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{2}^{\;}$，${M}_{1}^{\;}=ρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$，${M}_{2}^{\;}=ρ\frac{4}{3}π（\frac{R}{2}）_{\;}^{3}$，联立解得$\frac{{r}_{2}^{\;}}{{r}_{1}^{\;}}=\frac{1}{2}$．
答：（1）“天宫一号”绕地心转一周的时间是$\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$
（2）“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为$\frac{（R+h）_{\;}^{2}（R-d）}{{R}_{\;}^{3}}$
（3）设想地球的密度不变，自转周期不变，但地球球体半径变为原来的一半，仅考虑地球和同步卫星之间的相互作用力，则该“设想地球”的同步卫星的轨道半径与以前地球的同步卫星轨道半径的比值是1：2
点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．
高中必刷题系列答案
图示电路中，电源为恒流源，能始终提供大小恒定的电流．R0为定值电阻，移动滑动变阻器的滑片，则下列表示电压表示数U、电路总功率P随电流表示数I变化的关系图线中，可能正确的是（ ）
2014年12月12日，印尼中爪哇省的班查内加拉县因为连日的暴雨引发泥石流灾害，造成了巨大损失．如图所示，可视为质点的一个石头从发生泥石流的高AB=5m、长AC=50m的山坡上由静止滚下，不考虑石头在整个滚动过程中摩擦阻力的影响，山坡
如图所示，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ，石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔．如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向，当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离，重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常 ”．为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点到附近重力加速度反常现象，已知引力常数为G．则下列说法正确的是（ ）| A． | 有石油会导致P点重力加速度偏小 | |
| B． | 有石油会导致P点重力加速度偏大 | |
| C． | 在图中P点重力加速度反常值大于Q点重力加速度反常值 | |
| D． | Q点重力加速度反常值约为△g=$\frac{GρVd}{（{d}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$ |
如图所示，a、b两个小球穿在一根与水平面成θ角的光滑固定杆上，并用一细绳跨过光滑定滑轮相连．当两球静止时，Oa绳与杆的夹角也为θ，Ob绳沿竖直方向．若b球质量为m，则a球的质量为mcotθ；若从静止位置沿杆向上拉动b球，至ob与杆垂直，在此过程中a球重力势能变化量的绝对值小于b球重力势能变化量的绝对值（选填“大于”、“等于”、“小于”）．| A． | 气体分子间的作用力增大 | B． | 气体分子的平均速率增大 | ||
| C． | 气体分子的平均动能减小 | D． | 气泡的体积增大 |
一位同学利用光电加速器等器材做实验来验证自由落体运动是匀变速直线运动，如图甲所示，该同学让一直径为d、质量为m的金属小球从O处由静止释放，下落过程中能通过O处正下方，固定于M处的光电门，测得O、M间的距离为H（H＞＞d），光电计时器记录下小球通过光电门的时间为t，当地的重力加速度为g．