Question

3．如图所示，相距为d的平行金属板M、N间存在匀强电场和垂直纸面向里、磁感应强度为B₀的匀强磁场；在xOy直角坐标系平面内，第一象限有沿y轴负方向场强为E的匀强电场，第四象限有垂直坐标轴向外的半圆形匀强磁场ODC．一质量为m、带电量为q的正离子（不计重力）以初速度v₀沿平行于金属板方向射入两板间并做匀速直线运动，从P点垂直y轴进入第一象限，经过x轴上的A点射出电场磁场．已知离子过A点时的速度方向与x轴成45°角，且A为半圆形磁场的圆心．求：
（1）金属板M、N间的电压U；
（2）离子运动到A点时的速度v的大小和由P点运动到A点所需要的时间t；
（3）试讨论离子不从半圆形匀强磁场的圆弧ODC射出的磁感应强度B的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由离子做匀速直线运动，则有电场力等于洛伦兹力，从而根据U=Ed，可确定金属板M、N间的电压U；
（2）离子在第一象限做类平抛运动，由出射角度可得到入射速度与出射速度的关系；将类平抛运动分解x、y轴两方向，再由牛顿第二定律与运动学公式可算出离子运动到A点时速度V的大小和由P点运动到A点所需时间t；
（3）求出磁场的半径，根据题意求出离子在磁场中做圆周运动的临界半径，然后应用牛顿第二定律求出磁场的临界磁感应强度，然后确定其范围．

解答 解：（1）设平行金属板M、N间匀强电场的场强为E₀，则有：U=E₀d，
因为离子在金属板方向射入两板间，并做匀速直线运动，由平衡条件得：
qE₀=qv₀B₀，解得，金属板M、N间的电压：U=B₀v₀d；
（2）离子在第一象限内做平抛运动，
离子经过A点时的速度大小：v=$\frac{{v}_{0}}{cos45°}$=$\sqrt{2}$v₀，
离子在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，
v_y=at=$\frac{qE}{m}$t=vsin45°，运动时间：t=$\frac{m{v}_{0}}{qE}$；
（3）磁场区域半径：R=OA=v₀t=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qE}$，
离子不从半圆形匀强磁场的圆弧ODC射出的临界运动轨迹如图所示，
离子不从半圆形匀强磁场的圆弧ODC射出的临界轨道半径：r=$\frac{1}{2}$R，
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B₀=$\frac{2\sqrt{2}E}{{v}_{0}}$，
离子不从半圆形匀强磁场的圆弧ODC射出的磁感应强度的取值范围是：B≥B₀=$\frac{2\sqrt{2}E}{{v}_{0}}$．
答：（1）金属板M、N间的电压U为B₀v₀d；
（2）离子运动到A点时的速度v的大小和由P点运动到A点所需要的时间t为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qE}$；
（3）试讨论离子不从半圆形匀强磁场的圆弧ODC射出的磁感应强度B的取值范围是：B≥$\frac{2\sqrt{2}E}{{v}_{0}}$．

点评 考查了电场力与洛伦兹力平衡时的匀速直线运动，仅仅由电场力做类平抛运动，还有仅仅由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，学会如何处理类平抛运动及匀速圆周运动的问题，形成一定的解题能力．同时注意几何知识的熟练应用，并强调洛伦兹力的方向的重要性．