Question

8．科研人员利用电场和磁场控制带电粒子的运动，从而来进行粒子分选，其原理如图所示：真空环境中，由a、b、c、d四个平行界面分隔出的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，宽度均为L=0.12m．让包含两种不同的带正电粒子组成的粒子束，从界面a上的P点以速度v₀=5×10²m/s垂直界面射入区域Ⅰ，两种粒子带电量均为q=1×10^-6C，质量分别为m₁=3×10^-10kg和m₂=4×10^-10kg．若在区域Ⅰ和Ⅲ分别加上垂直纸面、方向相反、磁感应强度大小均为B=1T的匀强磁场，粒子能分成两束从界面d出射；若在区域Ⅰ和Ⅲ分别加上与界面平行、方向相反的匀强电场，粒子也能分成两束从界面d出射．不计粒子重力．
（1）求加磁场时两种粒子在界面d上出射点之间的距离
（2）若加电场时两种粒子在界面d上出射点之间的距离与加磁场时相等，求电场强度的大小．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做圆周运动离开磁场做匀速直线运动再进入磁场反方向做圆周运动，首先求出粒子做圆周运动的半径，根据半径求出粒子作圆周运动所对的圆心角，根据几何知识求出粒子在竖直方向距初始位置的距离；
（2）粒子在电场中做曲线运动，把曲线运动分解为水平和竖直方向的直线运动，水平方向匀速直线，竖直方向先加速后匀速最后减速，根据直线运动公式，求出粒子在竖直方向距初始位置的距离；

解答 解：（1）粒子运动轨迹如图所示，粒子1进入磁场由$qBv=m\frac{{v}^{2}}{r}$得：
${r}_{1}=\frac{{m}_{1}{v}_{0}}{Bq}$=0.15m
此圆弧所对圆心角的正弦值为：$sin{θ}_{1}=\frac{0.12}{0.15}=0.8$，
由几何知识可知，在Ⅰ区域内竖直方向偏转位移为：h₁=r₁-r₁cosθ₁=0.06m
粒子进入区域Ⅱ做匀速直线运动，入射角与水平方向夹角为53°
由几何知识可知，竖直方向位移为：h₂=Ltan53°=0.16m
进入区域Ⅱ由半径仍为：${r}_{1}=\frac{{m}_{1}{v}_{0}}{Bq}$=0.15m
由几何知识可知，竖直方向位移为：h₃=r₁-r₁cosθ₁=0.06m
粒子1在竖直方向总位移为：H₁=h₁+h₂+h₃=0.28m
同理粒子2在竖直方向总位移为：H₂=0.17m
△H=H₁-H₂=0.11m
（2）若在区域Ⅰ、Ⅲ加入电场，则粒子在水平方向做匀速直线运动，有：
$t=\frac{L}{{v}_{0}}=\frac{0.12}{5×1{0}^{2}}=2.4×1{0}^{-4}$
粒子1在区域Ⅰ中竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，
竖直方向末速度为：${v}_{t1}=at=\frac{Eq}{{m}_{1}}t$，
粒子竖直方向位移为：${x}_{1}=\frac{0+{v}_{t1}}{2}t$
在区域Ⅱ中粒子在竖直方向做匀速直线运动，故粒子在竖直方向位移为：x₂=v_t1t
在区域Ⅲ中粒子在竖直方向做初速度为${v}_{{t}_{1}}$，末速度为0的匀减速直线运动，故粒子在竖直方向位移为：
${x}_{3}=\frac{{v}_{t1}+0}{2}t$
${x}_{总1}={x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}=2{v}_{t1}t=2\frac{Eq}{{m}_{1}}{t}^{2}$
同理可得：${x}_{总2}=2\frac{Eq}{{m}_{2}}{t}^{2}$
△H=x_总1-x_总2=0.11m
解得：E=1.1458×10³V/m
答：（1）求加磁场时两种粒子在界面d上出射点之间的距离为0.11m；
（2）若加电场时两种粒子在界面d上出射点之间的距离与加磁场时相等，求电场强度的大小为1.1458×10³V/m．

点评 带电粒子在组合场中的运动问题，首先分析出粒子的运动情况．对于磁场中的圆周运动，要正确画出轨迹，用几何知识求解．当粒子在电场中运动时，曲线运动需分解为两个直线的合成，由牛顿第二定律和运动学公式结合求解；