Question

16．如图甲所示，在半径为R的圆往形区域内存在方向竖直向上的匀强磁场，根据麦克斯韦电磁理论，当磁场均匀增加时，会在空间激发恒定的感生电场，其电场线是在水平面内一系列沿顺时针方向的同心圆，圆心与磁场区域的中心O重合．在半径为r的圆周上，感生电场的电场强度大小处处相等，并且可以用E=$\frac{?}{2πr}$计算，式中?为由于磁场均匀变化而在半径为r的圆周上产生的感生电动势．
如图乙所示，在图甲的磁场区域内，在光滑水平支撑面上放置一半径为r（r＜R）的由绝缘材料制成的细圆环，圆心和磁场区域的中心O重合．细圆环的质量为m，电荷量为+q（q＞0），且质量和电荷量都均匀分布．在时间t₀内磁感应强度由0均匀增加到B₀，此后保持B₀不变．（假设圆环的电荷量保持不变，忽略圆环上电荷运动时激发的磁场和相对论效应）
（1）求时间t₀内圆环所在位置感生电场的电场强度的大小E；
（2）磁场增强时圆环开始绕圆心O无摩擦地转动，求圆环匀速转动时的角速度大小；
（3）当圆环匀速转动时，试判断圆环上的电荷受到的洛伦兹力的方向，并求圆环中张力（或挤压力）的大小．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律求出感应电动势，结合题目给出的感生电场的电场强度公式，即可求解
（2）求出电荷所受电场力，然后运用牛顿第二定律求出切向加速度，利用运动学公式求出速度，再结合圆周运动v=ωr求出角速度
（3）利用左手定则判断洛伦兹力方向，运用微元法求张力

解答 解：（1）导体圆环内的磁通量发生变化，将产生感生电动势，根据法拉第电磁感应定律，感生电动势为：${E}_{感}^{\;}$=$\frac{△B}{△t}S$=$\frac{{B}_{0}^{\;}}{{t}_{0}^{\;}}π{r}_{\;}^{2}$
时间${t}_{0}^{\;}$内圆环所在位置感生电场的电场强度的大小$E=\frac{{E}_{感}^{\;}}{2πr}=\frac{{B}_{0}^{\;}r}{2{t}_{0}^{\;}}$
（2）细圆环等效为一个带电量为q的带电小球，所受的电场力$F=qE=\frac{q{B}_{0}^{\;}r}{2{t}_{0}^{\;}}$
切向加速度$a=\frac{F}{m}=\frac{q{B}_{0}^{\;}r}{2m{t}_{0}^{\;}}$
经过时间${t}_{0}^{\;}$，速度$v=a{t}_{0}^{\;}=\frac{q{B}_{0}^{\;}r}{2m}$
角速度$ω=\frac{v}{r}=\frac{q{B}_{0}^{\;}}{2m}$
（3）由左手定则得，圆环上电荷所受洛伦兹力指向圆心；当环匀速转动时，环上电荷也随环一起转动，形成电流，电流在磁场中受力导致环中存在张力，显然此张力一定与电流在磁场中受到的安培力有关．由题意可知环上各点所受安培力方向均不同，张力方向也不同，因而只能在环上取一小段作为研究对象，从而求出环中张力的大小．在圆环上取△l=r△θ圆弧元，受力情况如图所示．因转动角速度ω而形成电流：$I=\frac{qω}{2π}$，电流元I△L所受的安培力$△F=I△l{B}_{0}^{\;}=\frac{rω}{2π}q{B}_{0}^{\;}△θ$
圆环法线方向合力圆弧元做匀速圆周运动所需的向心力，故：$2Tsin\frac{△θ}{2}+△F=△m{ω}_{\;}^{2}r$
当△θ很小时，$sin\frac{△θ}{2}≈\frac{△θ}{2}$，故有$T△θ+\frac{rω}{2π}q{B}_{0}^{\;}△θ=\frac{m{ω}_{\;}^{2}r}{2π}△θ$
解得圆环中张力$T=\frac{rω}{2π}（mω-q{B}_{0}^{\;}）$
将（2）中ω代入上式
$T=-\frac{{q}_{\;}^{2}{B}_{0}^{2}r}{8π}$（负号表示与图示方向相反）
答：（1）求时间t₀内圆环所在位置感生电场的电场强度的大小E为$\frac{{B}_{0}^{\;}r}{2{t}_{0}^{\;}}$；
（2）磁场增强时圆环开始绕圆心O无摩擦地转动，求圆环匀速转动时的角速度大小$\frac{q{B}_{0}^{\;}}{2m}$；
（3）当圆环匀速转动时，试判断圆环上的电荷受到的洛伦兹力的方向，并求圆环中张力（或挤压力）的大小为$\frac{{q}_{\;}^{2}{B}_{0}^{2}r}{8π}$．

点评 考查电磁学与力学综合运用的内容，掌握法拉第电磁感应定律，注意电场强度与电动势的符号区别，第一问比较基础，第三问有创新，比较新颖，难度较大．