Question

19．假设某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球的一半．不考虑星球和地球自转的影响，由以上数据可推算出：
（1）该星球表面重力加速度与地球表面重力加速度之比约为多少？
（2）靠近该星球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为多少？
（3）靠近该星球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为多少？

Answer 1

分析 在星球表面的物体受到的重力等于万有引力得到重力加速的表达式再求比值，根据万有引力提供向心力得到线速度和周期的表达式

解答 解：（1）根据重力等于万有引力，有：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
得：$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$
$\frac{{g}_{星}^{\;}}{{g}_{地}^{\;}}=\frac{{M}_{星}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}\frac{{R}_{地}^{2}}{{R}_{星}^{2}}=\frac{9}{1}×\frac{4}{1}=\frac{36}{1}$
（2）根据万有引力提供向心力有：G$\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
得：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
$\frac{{v}_{星}^{\;}}{{v}_{地}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{星}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}\frac{{R}_{地}^{\;}}{{R}_{星}^{\;}}}=\sqrt{\frac{9}{1}×\frac{2}{1}}=\frac{6}{\sqrt{2}}$
（3）根据万有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
得：$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{GM}}$
$\frac{{T}_{星}^{\;}}{{T}_{地}^{\;}}=\sqrt{\frac{{R}_{星}^{3}}{{R}_{地}^{3}}\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{星}^{\;}}}=\sqrt{\frac{1}{8}×\frac{1}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{12}$
答：（1）该星球表面重力加速度与地球表面重力加速度之比约为36：1
（2）靠近该星球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为$6：\sqrt{2}$
（3）靠近该星球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为$\sqrt{2}：12$

点评 本题关键是根据第一宇宙速度和重力加速度的表达式列式求解，其中第一宇宙速度为贴近星球表面飞行的卫星的环绕速度，根据万有引力提供圆周运动向心力进行分析．