Question

20．如图所示，斜面和半径为R的半圆形轨道分别与水平面成竖直轨道，轨道的水平部分较长，C为切点，斜面的倾角为θ．质量为m的小物块从斜面上距水平面高为h=3R的A点由静止开始下滑，物块通过轨道连接处的B、C点时，无机械能损失，不计空气阻力及一切摩擦．求：
（1）小物块滑至B所需的时间；
（2）小物块经过轨道最高点时对轨道的压力及离开圆弧轨道后的落点与C点的距离．

Answer 1

分析 （1）物块A到B过程，由机械能守恒定律即可求得物体通过B点时的速度，再由平均速度求时间；
（2）由机械能守恒定律可求得小物块经过轨道最高点时的速度，再由牛顿第二定律和第三定律求出物体通过高点时对轨道的压力．由平抛运动的规律求出离开圆弧轨道后的落点与C点的距离．

解答 解：（1）物块A到B过程，由机械能守恒定律得：
  mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
又 h=3R
可得 v_B=$\sqrt{6gR}$
设小物块滑至B所需的时间为t，则有 $\frac{h}{sinθ}$=$\frac{0+{v}_{B}}{2}t$
解得 t=$\frac{1}{sinθ}$$\sqrt{\frac{6R}{g}}$
（2）从开始到轨道最高点的过程，由机械能守恒定律得
  mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
得 v=$\sqrt{2gR}$
在轨道最高点，由牛顿第二定律得
  mg+N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
联立解得  N=mg
由牛顿第三定律得知，小物块经过轨道最高点时对轨道的压力 N′=N=mg
物块离开轨道最高点后做平抛运动，则有
  2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
  x=vt
解得 x=2$\sqrt{2}$R
答：
（1）小物块滑至B所需的时间是$\frac{1}{sinθ}$$\sqrt{\frac{6R}{g}}$；
（2）小物块经过轨道最高点时对轨道的压力是mg，离开圆弧轨道后的落点与C点的距离是2$\sqrt{2}$R．

点评 本题关键要掌握机械能守恒定律及向心力知识，对于第1小题，也可以根据牛顿第二定律求出加速度，再由位移时间公式求时间．