Question

4．如图所示，用长为l的轻质细线将质量为m的小球悬挂于O点，细线能承受的最大拉力大小为7mg．小球在外力作用下静止于A处，此时细线偏离竖直方向的夹角为60°．撤去外力，让小球由静止释放，摆到最低点B时，细线被O点正下方的光滑小钉子挡住，钉子离O点的距离满足一定条件时，小球能继续运动且细线不松弛．不计空气阻力，重力加速度为g．求：
（1）小球静止于A处时所受最小外力；
（2）小球运动过程中离A处位移的范围；
（3）钉子离O点距离应该满足的条件．

Answer 1

分析 （1）当外力与绳子方向垂直斜向上时，外力最小，根据共点力平衡求出最小外力．
（2）根据小球摆动的情况分析离A处位移的最大值，从而得出位移的范围．
（3）分析钉子离O点的距离需满足的情况：1、不越过四分之一圆周，2、越过圆周的最高点，3、在最低点拉力不超过7mg，根据牛顿第二定律、机械能守恒综合求解．

解答 解：（1）当外力与绳垂直斜向上时，外力最小，
由共点力平衡可得，F=mgsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}mg$．
（2）钉子和O点重合时，当小球运动到左侧最高点时，位移最大，根据机械能守恒条件可知，小球运动到左侧最高点和初始位置等高，
根据几何关系知，小球运动过程中的最大位移${x}_{m}=2×l×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}l$，
所以$0≤x≤\sqrt{3}l$．
（3）①当钉子与A点等高时，小球运动到最高点的速度为零，
${h}_{1}=\frac{l}{2}$，
②小球运动到最低点绳子恰好不断裂，设此时小球运动半径为r₁，
根据牛顿第二定律得，$7mg-mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$，
由机械能守恒定律得，mgl（1-cos60°）=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得${r}_{1}=\frac{1}{6}l$，钉子距离O点的距离${l}_{1}=l-\frac{1}{6}l=\frac{5}{6}l$．
③小球绕过钉子又能运动到圆周的最高点，设此时小球运动的半径为r₂，
由机械能守恒定律可得，$mg\frac{l}{2}-mg•2{r}_{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
由牛顿第二定律得，$mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{r}_{2}}$，
代入数据解得${r}_{2}=\frac{l}{5}$，钉子距离O点的距离${l}_{2}=l-\frac{l}{5}=\frac{4}{5}l$，
所以钉子离O点的距离h满足的条件$h＜\frac{l}{2}$，$\frac{4}{5}l≤h≤\frac{5l}{6}$．
答：（1）小球静止于A处时所受最小外力为$\frac{\sqrt{3}}{2}mg$．
（2）小球运动过程中离A处位移的范围为$0≤x≤\sqrt{3}l$．
（3）钉子离O点距离应该满足的条件为$h＜\frac{l}{2}$或$\frac{4}{5}l≤h≤\frac{5l}{6}$．

点评 本题综合考查了共点力平衡、牛顿第二定律、机械能守恒的综合运用，对于第三问，关键抓住临界情况，结合牛顿第二定律和机械能守恒进行求解，有一定的难度．