Question

3．如图，在倾角为θ=37°的足够长的固定斜面底端，一小物块以某一初速度沿斜面上滑，一段时间后返回到出发点．若物块上滑所用时间t₁和下滑所用时间t₂的大小关系满足t₁：t₂=1：$\sqrt{2}$，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，试求：
（1）上滑加速度a₁与下滑加速度a₂的大小之比；
（2）物块和斜面之间的动摩擦因数；
（3）若斜面倾角变为60°，并改变斜面粗糙程度，小物块上滑的同时用水平向右的推力F作用在物块上，发现物块匀减速上滑过程中加速度与推力大小无关，求此时加速度大小．

Answer 1

分析 （1）根据上滑过程和下滑过程位移大小相等列方程求解．
（2、3）分别对上滑和下滑过程根据牛顿第二定律求出加速度表达式，利用加速度之比求解μ．

解答 解：（1）上滑过程和下滑过程位移大小相等：$\frac{1}{2}$a₁t₁²=$\frac{1}{2}$a₂t₂²                                        
得$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{{t}_{2}}^{2}}{{{t}_{1}}^{2}}$=2
（2）上滑时：mgsin37°+μmgcos37°=ma₁                     
下滑时：mgsin37°-μmgcos37°=ma₂                     
得μ=0.25                                            
（3）mgsin60°+μ′N-Fcos60°=ma，N=Fsin60°+mgcos60°
得：mgsin60°+μ′Fsin60°+μ′mgcos60°-Fcos60°=ma         
因为a与F无关，所以μ′Fsin60°-Fcos60°=0               
此时μ′=cot60°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$                                    
则，a=gsin60°+μ′gcos60°=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$m/s²≈11.55m/s²      
答：（1）上滑加速度a₁与下滑加速度a₂的大小之比为2；
（2）物块和斜面之间的动摩擦因数为0.25；
（3）若斜面倾角变为60°，并改变斜面粗糙程度，小物块上滑的同时用水平向右的推力F作用在物块上，发现物块匀减速上滑过程中加速度与推力大小无关，此时加速度大小为11.55m/s²．

点评 对物块在斜面上进行受力分析，运用牛顿第二定律结合运动学公式解决．注意情景发生改变，要重新进行受力分析．