Question

18．如图甲，一个倾角为30°的光滑斜面的底端固定一个与斜面垂直的挡板，劲度系数k=0.1N/cm的轻质弹簧一端与挡板固定，另一端与一个质量为m=0.2kg、带电量为+2×10^-7C的小滑块固定，现将滑块压到距挡板为L=30cm的A点由静止释放，滑块刚好能在A、B做简谐运动，其位移-时间图如图乙所示，求：
（1）该滑块做间谐运动的振动方程；
（2）弹簧的原长L₀；
（3）若在滑块到达A点时加一个竖直向下、大小为E=2×10⁶C的匀强电场，滑块还能继续做简谐运动吗？若能，试求出振幅A′．

Answer 1

分析 （1）由图读出滑块的振幅与周期，结合振动方程中的物理量特点，即可写出振动方程；
（2）根据题意与位移-时间图，判断出滑块在平衡位置处对应的弹簧的形变量，结合胡克定律即可求出弹簧的原长；
（3）当加电场后，对滑块进行受力分析即可求出．

解答 解：（1）由图可知，该振子的振幅为20cm=0.2m，周期为0.4s，所以圆频率：$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{0.4}=5π$
所以，该滑块做间谐运动的振动方程为：x=Asinωt=0.2sin5πt （m）
（2）滑块在平衡位置处受到的弹簧的弹力与重力沿斜面向下的分力是相等的，设此时弹簧的压缩量为x，所以：
mgsin30°=kx
k=0.1N/cm=10N/m
代入数据得：x=0.1m=10cm
所以弹簧的原长：L₀=L+A+x=30cm+20cm+10cm=60cm
（3）在A点时弹簧的压缩量：△x=x+A=10cm+20cm=30cm=0.3m
选取沿斜面向上为正方向，则加电场后，滑块在A点的受力沿斜面方向的分力：
F_合斜面=k△x-mgsin30°-qEsin30°=10×0.3-0.2×10×0.5-2×10^-7×2×10⁶=1.6N
可知在A点滑块受到沿斜面向上的合外力为1.6N，所以滑块将从A点开始 向上做加速运动，由于电场力是恒力，所以滑块仍然可以做简谐振动．
此时设合外力等于0时弹簧的压缩量为x′，则：0=kx′-mgsin30°-qEsin30°
代入数据得：x=0.14m=14cm
所以此时滑块的振幅为：A′=A+x-x′=0.2m+0.1m-0.14m=0.16m=16cm
答：（1）该滑块做间谐运动的振动方程为x=Asinωt=0.2sin5πt （m）；
（2）弹簧的原长为60cm；
（3）若在滑块到达A点时加一个竖直向下、大小为E=2×10⁶C的匀强电场，滑块还能继续做简谐运动，此时的振幅A′为16cm．

点评 该题基于简谐振动模型考查胡克定律、共点力平衡等知识点的内容，题目的设计思路新颖，涉及知识点多，公式多，在解答的过程中要注意对各个过程以及状态的分析．