Question

19．如图所示，BCE为半径R=1m的光滑半圆形轨道，O为圆心，A为圆心正上方一点，OA=$\frac{43}{45}$R，OA与OB间的夹角为53°，现将质量m=1kg可视为质点的小物块从A点以水平向左的初速度抛出，小物块恰好可以从B点沿切线方向进入圆轨道，然后从E点沿粗糙斜面上滑，已知物块与斜面间的动摩擦因数为0.25，g=10m/s²．求：
（1）物块抛出的初速度v₀；
（2）物块第一次在斜面上滑行的时间；
（3）物块返回最低点C时对轨道的压力多大？

Answer 1

分析 （1）物块从A到B做平抛运动，根据平抛运动的规律列式求解；
（2）先由动能定理得E点的速度，再求出上滑和下滑的加速度，由运动学公式求解；
（3）先由动能定理得C点的速度，再由牛顿第二定律列式求解．

解答 解：（1）从A到B做平抛运动，则有
竖直方向：h_OA-Rcos53°=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向：Rsin53°=v₀t
联立解得：v₀=3m/s；
（2）从A到E，由动能定理得：mg（$\frac{43}{45}$R+Rcos53°）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得在E点的速度：v=2$\sqrt{10}$m/s
在斜面上向上减速运动有：mgsinθ+μmgcosθ=ma₁，解得a₁=9.5m/s²
上滑的时间为：t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$，上滑的位移x=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$
在斜面上向下加速运动有：mgsinθ-μmgcosθ=ma₁，解得a₁=6.5m/s²
下滑的时间为：t₂=$\sqrt{\frac{2x}{{a}_{2}}}$
综上可得t=t₁+t₂=（$\frac{4\sqrt{10}}{19}+\frac{\sqrt{104}}{13}$）s
（3）从A到C全程，由动能定理可得：
mg$•\frac{88}{45}R$-umgcosθ•2x=$\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
在C点又由牛顿第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$
联立两式可解得：N=45.5N．
答：（1）物块抛出的初速度为3m/s；
（2）物块第一次在斜面上滑行的时间为$\frac{4\sqrt{10}}{19}+\frac{\sqrt{104}}{13}$s；
（3）物块返回最低点C时对轨道的压力为45.5N．

点评 解题的关键是要掌握多过程问题动能定理的应用，要分段求功．易错的地方是滑动的摩擦力的计算，正压力不等于重力．