Question

14．两个沿竖直方向的磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磁场穿过光滑的水平桌面，它们的宽度均为L．质量为m、边长为L的平放在桌面上的正方形线圈的ab边与磁场边界ee′平行且两者间的距离为L，如图所示．线圈在恒力作用下由静止开始沿桌面加速运动，ab边进入左边的磁场时恰好做速度为v的匀速直线运动，求：
（1）当ab边刚越过ff′时线圈的加速度；
（2）当ab边运动到ff′与gg′之间的正中间位置时，线圈又恰好做匀速直线运动，从ab边刚越过ee′到达右边磁场正中间位置的过程中，线圈共产生多少热量？

Answer 1

分析 （1）进入磁场前，水平恒力做功，根据动能定理列式，得到恒力F与速度v的关系式；刚进入左边磁场时做匀速运动，恒力与安培力二力平衡，列出平衡方程；刚越过中界线时，左右两边都切割磁感线，两边都受安培力，根据牛顿第二定律和安培力的表达式，求解加速度．
（2）ab边刚越过中界线ff′和边界线gg′的中间位置时，线框又恰好做匀速运动，恒力与安培力再次平衡，列出平衡方程，再根据能量守恒定律求解热量．

解答 解：（1）进入前，由动能定理得：
FL=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$…①
刚进入左边磁场时线框匀速运动，则有：
F=F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$…②
刚越过中界线ff′时速度为v，ab、dc两边都切割磁感线，两边都受安培力，则线框所受的安培力为：
F′_安=2BIL=2B$•\frac{2BLv}{R}$•L=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=4F_安=4F
根据牛顿第二定律得：a=$\frac{F-4F}{m}$=-3a₁=-$\frac{3{v}^{2}}{2L}$，方向水平向左．
（2）从刚进入到末位置由能量守恒定律得：
F•$\frac{5}{2}$L=$\frac{1}{2}$mv′²+Q，v′为末位置时速度，
由受力平衡得：
F=4F_安=4×$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v′}{R}$…③
比较②③得：v=$\frac{1}{4}$v，
联立得Q=$\frac{39m{v}^{2}}{32}$．
答：（1）当ab边刚越过中界线2时，线框的加速度为-$\frac{3{v}^{2}}{2L}$；
（2）线框从开始进入边界线1到ab边到达界线2、3中间位置的过程中共产生的热量为$\frac{39m{v}^{2}}{32}$．

点评 本题是电磁感应与力学知识的综合，关键是分析和计算安培力的大小，要注意线框经过中界线2时，左右两边都切割磁感线，都产生感应电动势，两边都受安培力，不能死记安培力表达式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$．