Question

4．已知地球的半径为R，地面附近的重力加速度为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响，求：
（1）卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v₁的大小；
（2）地球的平均密度ρ．

Answer 1

分析 根据重力等于万有引力，引力等于向心力，列式求解．根据万有引力提供向心力即可求解．

解答 解：（1）设卫星的质量为m，地球的质量为M，根据万有引力定律，物体在地球表面附近满足：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$           ①
第一宇宙速度是指卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力，即：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$  ②
联立①②解得${v}_{1}=\sqrt{gR}$
（2）将地球看成是半径为R的均匀球体，其体积为$V=\frac{4}{3}π{R}^{3}$     ③
地球的平均密度$ρ=\frac{M}{V}$         ④
联立①③④解得：$ρ=\frac{3g}{4πGR}$
答：（1）卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v₁的大小为$\sqrt{gR}$；
（2）地球的平均密度ρ为$\frac{3g}{4πGR}$．

点评 卫星所受的万有引力等于向心力、地面附近引力等于重力是卫星类问题必须要考虑的问题，本题根据这两个关系即可列式求解！