Question

3．如图所示，在矩形区域abcd内有匀强电场和匀强磁场．已知电场方向平行于ad边且由a向d，磁场方面垂直于abcd平面，ab边长为$\sqrt{3}$L，ad边长为2L．一带电粒子从ad边的中点O平行于ab方向以大小为v0的速度射入场区，恰好做匀速直线运动；若撤去电场，其它条件不变，则粒子从 c点射出场区（粒子重力不计）．
（1）求撤去电场后，该粒子在磁场中的运动时间；
（2）若撤去磁场，其它条件不变，求粒子射出电场时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）撤去电场后，粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系求出半径和圆心角，求出圆弧长度，由t=$\frac{△s}{v}$求出时间；
（2）先根据类平抛运动判断粒子射出电场的位置，再根据动能定理求出粒子射出电场的速度．

解答 解：（1）撤去电场后带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为R，转过的圆心角为θ，
根据几何关系有：（R-L）²+（$\sqrt{3}$L）²=R²
sinθ=$\frac{\sqrt{3}L}{R}$
解得：R=2L，θ=$\frac{π}{3}$
轨迹圆弧长为：l=R•θ=$\frac{2πL}{3}$
粒子在磁场中运动的时间：t_磁=$\frac{l}{{v}_{0}}$=$\frac{2πL}{3{v}_{0}}$
（2）电场和磁场均存在时，粒子做匀速直线运动：qE=qv₀B
撤去电场，粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
根据几何关系有：R=2L
联立得：qE=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2L}$
撤去磁场中，带电粒子在电场中做类平抛运动，假设带电粒子从ab边射出场区，
由运动学规律有：L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，2aL=${v}_{0}^{2}$
根据牛顿第二定律可得：Eq=ma
联立解得：t=$\frac{2L}{{v}_{0}}$
带电粒子沿ab方向运动距离x=v₀t=2L，x大于ab边长，故假设不成立，带电粒子从bc边射出场区，
则：t_电=$\frac{\sqrt{3}L}{{v}_{0}}$
只有电场时，带电粒子出场区时的偏转位移：y=$\frac{1}{2}a{t}_{电}^{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{{v}_{0}^{2}}{2L}•（\frac{\sqrt{3}L}{{v}_{0}}）^{2}$=$\frac{3}{4}L$
带电粒子在电场中运动，由动能定理有：qEy=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得带电粒子射出电场时速度大小：v=$\frac{\sqrt{7}}{2}{v}_{0}$
答：（1）求撤去电场后，该粒子在磁场中的运动时间为$\frac{2πL}{3{v}_{0}}$；
（2）若撤去磁场，其它条件不变，粒子射出电场时的速度大小为$\frac{\sqrt{7}}{2}{v}_{0}$．

点评 本题主要考查了带电粒子在组合场中运动的问题，要求同学们能正确分析粒子的受力情况，再通过受力情况分析粒子的运动情况，熟练掌握圆周运动及平抛运动的基本公式．