Question

2．如图所示为一绕地球运行的人造地球卫星运行轨迹，卫星近地点P近似认为贴近地球表面，远地点Q距地面的高度为h，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，则（　　）

• A． 该卫星的运动周期为2π$\sqrt{\frac{（R+\frac{h}{2}）^{2}}{g{R}^{2}}}$
• B． 该卫星的发射速度大于第一宇宙速度
• C． 该卫星在P点的速度大小为$\sqrt{gR}$
• D． 该卫星在P点的加速度大于地球表面的重力加速度g

Answer 1

分析 求出卫星椭圆轨道的半长轴，抓住椭圆的周期与圆轨道半径等于半长轴的周期相等，结合万有引力提供向心力求出周期．在P点，卫星的速度大于第一宇宙速度，做离心运动．根据牛顿第二定律，结合万有引力等于重力比较卫星在P点的加速度与地球表面重力加速度的大小关系．

解答 解：A、近地卫星的周期为${T}_{0}^{\;}$，由$mg=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{0}^{2}}R$，得${T}_{0}^{\;}=2π\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{GM}}$=$2π\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}=2π\sqrt{\frac{R}{g}}$，图示卫星的周期为T，半长轴为$r=（R+\frac{h}{2}）$，由开普勒第三定律得$\frac{{R}_{\;}^{3}}{{T}_{0}^{2}}=\frac{{r}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}$，解得$T=2π\sqrt{\frac{（g+\frac{h}{2}）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$，故A正确；
C、因卫星的轨道为椭圆，故卫星的发射速度大于$\sqrt{gR}$，故C错误；
B、发射速度大于第一宇宙速度，故B正确；
D、由万有引力定律和牛顿第二定律知卫星在P点的加速度在P点，加速度a=$\frac{G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}}{m}=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$，地球表面的重力加速度g=$\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$，即P点加速度等于地球表面的重力加速度，故D错误；
故选：AB

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，运用开普勒第三定律必须对于同一个中心天体．