题目内容

20．如图所示，固定的竖直光滑U型金属导轨，间距为L，上端接有阻值为R的电阻，处在方向水平且垂直于导轨平面、磁感应强度为B的匀强磁场中．质量为m、电阻不计的导体棒与劲度系数为k的固定轻弹簧相连放在导轨上，导轨的电阻忽略不计．初始时刻，弹簧处于伸长状态，其伸长量为x1=$\frac{mg}{k}$，此时导体棒具有竖直向下的初速度v0．在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．已知重力加速度为g．求：
（1）初始时刻导体棒受到的安培力大小；
（2）导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热．

分析 （1）由E=BLv求出感应电动势，由欧姆定律求出感应电流，由安培力公式可以求出安培力．
（2）导体棒最终静止时，弹簧的弹力与之重力平衡，可求出弹簧的压缩量，即导体棒下降的高度．从初始时刻到最终导体棒静止的过程中，导体棒的重力势能和动能减小转化为弹簧的弹性势能和内能，根据能量守恒定律求解电阻R上产生的焦耳热Q．

解答 解：（1）初始时刻感应电动势：E=BLv0，
感应电流：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BL{v}_{0}}{R}$，
安培力大小：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$；
（2）最终导体棒静止，弹簧处于压缩状态，设压缩量为x2，
由平衡条件得：mg=kx2，解得：x2=$\frac{mg}{k}$，
从初始时刻到最终的全过程中，由能量转化和守恒得：
$\frac{1}{2}$mv02=Q-mg（x1+x2），解得：Q=$\frac{1}{2}$mv02+$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}}{k}$．
答：（1）初始时刻导体棒受到的安培力大小为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$；
（2）导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热为$\frac{1}{2}$mv02+$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}}{k}$．

点评 本题中安培力的经验公式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，可以由感应电动势、欧姆定律、安培力三个公式结合推导出来，要加强记忆，有助于分析和计算．

练习册系列答案
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A．cd杆向左运动
B．ab与cd杆均先做变加速运动，后做匀速运动
C．ab与cd杆均先做变加速运动，后做匀加速运动，且加速度相同
D．ab与cd杆均先做变加速运动，后做匀加速运动，但加速度不同
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15．如图所示，a、b是等量异种点电荷连线的中垂线上的两点，则某检验电荷在a、b处（　　）
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