Question

8．如图所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面的夹角θ=30°，导轨电阻不计．磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面向上，长为L的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m、电阻为R．两金属导轨的上端连接右端电路，灯泡的电阻R_L=4R，定值电阻R₁=2R，电阻箱电阻调到R₂=12R，重力加速度为g，现将金属棒由静止释放，试求：
（1）金属棒下滑的最大速度v_m为多大？
（2）当金属棒下滑距离为S₀时速度恰达到最大，求金属棒由静止开始下滑2S₀的过程中，整个电路产生的电热；
（3）金属杆在加速下滑过程中，当速度达到$\frac{1}{2}$v_m时，求此时杆的加速度大小；
（4）改变电阻箱R₂的值，当R₂为何值时，金属棒达到匀速下滑时R₂消耗的功率最大．

Answer 1

分析 （1）金属棒ab先加速下滑，所受的安培力增大，加速度减小，后匀速下滑，速度达到最大．由闭合电路欧姆定律、感应电动势和安培力公式推导出安培力的表达式，根据平衡条件求解最大速度．
（2）当金属棒下滑直到速度达到最大的过程中，金属棒的机械能减小转化为内能，根据能量守恒定律求解电热Q；
（3）根据牛顿第二定律来分析求解加速度大小；
（4）R₂消耗的功率P=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}$，而U=IR_并，金属棒匀速下滑时，重力的功率等于电路的电功率，得到mgsin30°=$\frac{{B}^{2}{d}^{2}v}{3R+{R}_{并}}$，联立得到R₂功率P与R₂的关系式，由数学知识求最值．

解答 解：（1）当金属棒匀速下滑时速度最大，设最大速度为v_m，达到最大时，则根据平衡条件有：
mgsinθ=F_安                                             
根据安培力计算公式可得：F_安=ILB，
根据闭合电路的欧姆定律可得：I=$\frac{BL{v}_{m}}{{R}_{总}}$                          
电路总电阻为：R_总=R₁+R+$\frac{{R}_{2}{R}_{L}}{{R}_{2}+{R}_{L}}$=6R，
解得最大速度v_m=$\frac{3mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）由能量守恒知：mg•2S₀•sinθ=Q+$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$，
解得Q=mgs₀-$\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$；
（3）金属棒速度最大时受力平衡，有mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{d}^{2}{v}_{m}}{6R}$
金属棒达到最大速度的一半时受到的安培力大小为F_A=$\frac{{B}^{2}{d}^{2}•\frac{1}{2}{v}_{m}}{6R}=\frac{1}{2}mg$，
根据牛顿第二定律可得mgsin30°-F_A=ma，
解得：a=$\frac{1}{2}g$；
（4）R₂消耗的功率P=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}$，而U=IR_并=$\frac{{R}_{并}}{{R}_{并}+3R}$BLv，
R_并=$\frac{4R{R}_{2}}{4R+{R}_{2}}$
又金属棒匀速运动时，mgsin30°=$\frac{{B}^{2}{d}^{2}v}{3R+{R}_{并}}$
代入得到P=$\frac{（mgsin30°）^{2}}{{B}^{2}{L}^{2}}•\frac{16{R}^{2}{R}_{2}}{（4R+{R}_{2}）^{2}}$=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{4{B}^{2}{L}^{2}}•\frac{16{R}^{2}}{\frac{16{R}^{2}}{{R}_{2}}+8R+{R}_{2}}$
由数学知识得：当$\frac{16{R}^{2}}{{R}_{2}}$=R₂时，即R₂=4R时，R₂消耗的功率P最大，
最大值为P_m=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{L}^{2}}$．
答：（1）金属棒下滑的最大速度v_m为$\frac{3mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）当金属棒下滑距离为S₀时速度恰达到最大，求金属棒由静止开始下滑2S₀的过程中，整个电路产生的电热为mgs₀-$\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$；
（3）金属杆在加速下滑过程中，当速度达到$\frac{1}{2}$v_m时，此时杆的加速度大小为$\frac{1}{2}g$；
（4）改变电阻箱R₂的值，当R₂为4R时，金属棒达到匀速下滑时R₂消耗的功率最大．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，根据牛顿第二定律或平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．