Question

9．水平放置的平行正对的金属板 M、N 之间存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面的交变磁场（如图 a 所示，垂直纸面向里为正），磁感应强度 B0=50T，已知两板间距离d=0.3m，电场强度 E=50V/m，M 板正中央有一小孔 P，在 P 正上方 h=5cm 处的 O 点，一带电液滴自由下落，穿过小孔后进入两板间，若油滴在 t=0 时刻进入两板间，最后恰好从 N 板边缘水平飞出（液滴以水平速度从 M、N 板位置经过时，认为夜滴恰好没有打在板上），已知油滴的质量 m=10^-4kg，带电量 q=+2×10^-5C．（不计空气阻力，油滴可视为质点，重力加速度 g=10m/s²）求：

（1）油滴在 P 点的速度；
（2）N 板的长度 L 和交变磁场的变化周期．

Answer 1

分析 （1）粒子下落的P点过程中机械能守恒，根据机械能守恒可求得P点的速度；
（2）分析粒子受力，重力和电场力平衡，粒子受洛伦兹力做匀速圆周运动，粒子要想从N板右端水平飞出，在场内做三次$\frac{1}{4}$圆弧运动，由此可求N板的长度；
根据T=$\frac{2πR}{v}$，求出粒子运动周期，从而求出交变磁场变化周期．

解答 解：（1）带电油滴从O点到P点的过程中，机械能守恒，由机械能守恒定律得：
mgh=$\frac{1}{2}$mv²…①
代入数据得：v=1m/s
（2）进入场区时，因为：mg=10^-4×10=10^-3N，qE=50×2×10^-5=10^-3N，方向向上．
所以，重力与电场力平衡，粒子做匀速圆周运动．
所以有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…③
代入数据得：R=0.1m…④
油滴要想从N板右端水平飞出，粒子在场内做三次$\frac{1}{4}$圆弧运动．
所以，N板的长度：L=6R…⑤
解得：L=0.6m…⑥
油滴在磁场中运动的周期：T₀=$\frac{2πR}{v}$…⑦
所以，交变磁场的周期：T=$\frac{1}{2}$T₀…⑧
联立解得：T=0.3s
答：（1）油滴在P点的速度为1m/s；
（2）N板的长度为0.6m；交变磁场的变化周期为0.3s

点评 本题是带点粒子在混合场中运动的问题，关键是分析粒子的受力情况和运动情况，注意分析油滴的运动过程，正确找出运动轨迹与板长间的关系是解题的关键．