Question

7．如图，一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平．一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道．质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度的大小．用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功．则（　　）

• A． W=$\frac{1}{2}$mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离
• B． W=$\frac{1}{2}$mgR，质点恰好能到达Q点
• C． 质点再次经过N点时，对N点压力大于2mg
• D． 要使质点能到达Q点上方R处，应在P点上方2R处释放质点

Answer 1

分析 根据动能定理得到物体速度关系，进而得到摩擦力大小关系，从而得到不同运动阶段摩擦力做功情况，进而由动能定理、牛顿定律求解．

解答 解：AB、质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，故由牛顿第二定律可得：$4mg-mg=\frac{m{{v}_{N1}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{N1}=\sqrt{3gR}$；
那么对质点从静止下落到N的过程应用动能定理可得：$W=2mgR-\frac{1}{2}m{{v}_{N1}}^{2}=\frac{1}{2}mgR$；
由于摩擦力做负功，故质点在半圆轨道上相同高度时在NQ上的速度小于在PN上的速度，所以，质点对轨道的压力也较小，那么，摩擦力也较小，所以，质点从N到Q克服摩擦力做的功W₁＜W，所以，质点在Q的动能大于零，即质点到达Q点后，继续上升一段距离，故A正确，B错误；
C、由于摩擦力做负功，故质点在QN上运动，在同一位置时下滑速度小于上滑速度，所以，质点对轨道的压力也较小，那么，摩擦力也较小，所以，质点从Q到N克服摩擦力做的功W₂＜W₁＜W；所以，质点从静止到再次经过N点，克服摩擦力做功为：$W+{W}_{1}+{W}_{2}＜3W=\frac{3}{2}mgR$
故由动能定理可得：$\frac{1}{2}m{{v}_{N2}}^{2}＞2mgR-3W=\frac{1}{2}mgR$；
所以，由牛顿第二定律可得质点受到的支持力为：${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{N2}}^{2}}{R}＞2mg$，故由牛顿第三定律可得：质点再次经过N点时，对N点压力大于2mg，故C正确；
D、要使质点能到达Q点上方R处，设在P点上方h处释放质点，那么由动能定理可得：mg（h-R）-W-W₁=0，所以，h＜2R，故D错误；
故选：AC．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．