Question

19．将一质量为m的小球从地面以v₀的速度竖直向上抛出，物体落回地面时速度大小为kv₀，若小球运动中受到的空气阻力大小恒定，重力加速度为g．求：
（1）小球从抛出到落回抛出点的过程中克服阻力所做的功；
（2）小球受到的阻力f的大小．

Answer 1

分析 （1）对整个过程应用动能定理即可求得克服阻力做的功；
（2）对上升过程和下落过程分别利用动能定理即可联立求解．

解答 解：（1）小球运动过程只有重力、阻力做功，故由动能定理可得：小球从抛出到落回抛出点的过程中克服阻力所做的功为：
$W=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m（k{v}_{0}）^{2}=\frac{1}{2}（1-{k}^{2}）m{{v}_{0}}^{2}$；
（2）小球运动中受到的空气阻力大小恒定，故上升、下落过程阻力做功都为：W_f=$\frac{1}{4}（{k}^{2}-1）m{{v}_{0}}^{2}$；
那么设小球上升高度为h，则有：W_f=-fh，则由动能定理可得：${W}_{f}-mgh=-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，$mgh+{W}_{f}=\frac{1}{2}m（k{v}_{0}）^{2}$；
所以，$\frac{f}{f+mg}=\frac{1}{2}（1-{k}^{2}）$
得：$f=\frac{1-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}mg$；
答：（1）小球从抛出到落回抛出点的过程中克服阻力所做的功为$\frac{1}{2}（1-{k}^{2}）m{{v}_{0}}^{2}$；
（2）小球受到的阻力f的大小为$\frac{1-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}mg$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．