Question

1．如图所示，有一个竖直固定在地面的透气圆筒，筒中有一劲度为k的轻弹簧，其下端固定，上端连接一质量为m的薄滑块，圆筒内壁涂有一层新型智能材料--ER流体，它对滑块的阻力可调．起初滑块静止，ER流体对其阻力为零，弹簧的长度为L，现有一质量也为m的物体从距地面2L处自由落下，与滑块碰撞后粘在一起向下运动且碰撞前、后瞬间两物体质量与速度的乘积相等，方向不变．为保证粘在一起的两滑块一起做匀减速运动，且下移距离为2mg/k时速度减为0，ER流体对滑块的阻力须随滑块下移而变．试求（忽略空气阻力）：
（1）下落物体与滑块碰撞过程中系统损失的机械能；
（2）滑块向下运动过程中加速度的大小以及滑块下移距离d（小于2mg/k）时ER流体对滑块阻力的大小．
（3）通过探究发现，弹簧的弹性势能可以用E_p=$\frac{K{x}^{2}}{2}$表示，其中K为弹簧的劲度系数，X为弹簧的形变量，当滑块以共同速度向下运动2mg/k距离过程中克服ER流体阻力所做的功．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒可以求得碰撞前物体的速度大小，在根据动量守恒可以求得碰撞后物体的速度大小，从而可以求得碰撞中能量的损失；
（2）由物体的运动过程可以求得物体的加速度的大小；对物体受力分析，由牛顿第二定律可以求得滑块受到的阻力的大小；
（3）分别求出重力势能和弹性势能的变化量，根据能量守恒定律求出ER流体对滑块的阻力所做的功．

解答 解：（1）设物体下落末速度为v₀，由机械能守恒定律，有：
mgL=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：
v₀=$\sqrt{2gL}$
设碰后共同速度为v₁，依题意，有：
2mv₁=mv₀
解得：
${v}_{1}=\frac{1}{2}\sqrt{2gL}$
碰撞过程中系统损失的机械能为：
$△E=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-2m{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}mgL$
（2）设加速度大小为a，有：
2ax=${v}_{1}^{2}$    
得：
a=$\frac{kL}{8m}$
设弹簧弹力为F_N，ER流体对滑块的阻力为F_ER
受力分析如图所示：
F_S+F_ER-2mg=2ma
F_S=kx      
x=d+$\frac{mg}{k}$
解得：
${F}_{EN}=mg+\frac{kL}{4}-kd$
（3）当滑块以共同速度向下运动$\frac{2mg}{k}$距离过程中，由功能关系，有：
W_阻=E₂-E₁=-$\frac{4{m}^{2}{g}^{2}}{k}$+$\frac{4{m}^{2}{g}^{2}}{k}$+（-$\frac{1}{2}$mgL）=-$\frac{1}{2}$mgL
故：W_克服阻=-W_阻=$\frac{1}{2}$mgL
答：（1）下落物体与滑块碰撞过程中系统损失的机械能为$\frac{1}{2}mgL$；
（2）滑块向下运动过程中加速度的大小以及滑块下移距离d时ER流体对滑块阻力的大小为$mg+\frac{kL}{4}-kd$；
（3）当滑块以共同速度向下运动$\frac{2mg}{k}$距离过程中克服ER流体阻力所做的功为$\frac{1}{2}$mgL．

点评 本题综合考查了动量守恒定律、机械能守恒定律、能量守恒定律、牛顿第二定律等知识，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强这方面的训练．