Question

19．如图甲所示，离子发生器能连续均匀地发射质量为m．电荷量为+q的离子．并从O点无初速进入间距为d₁的两平行极板AB之间．离子穿过极板B上的小孔后，恰好沿两平行板MN间的中心线射入偏转电场．已知MN两板长均为L，MN两板间所加电压恒为U，且M板的电势高于N板电势．则：
（1）若U_AB=U₁（U₁为定值）求离子射入偏转电场时的速度为多大；
（2）若U_AB=U₁．离子恰能从极板N的中心小孔P处飞出．求MN两饭间的距离d；
（3）若极板AB间所加电压随时间变化的规律如图乙所示．已知电压的变化周期T=$\sqrt{\frac{128{d}_{1}^{2}m}{9q{U}_{1}}}$．求能从小孔P处飞的离子数目与发射总数的比值．

Answer 1

分析 （1）粒子在加速电场中，电场力做功，由动能定理求出速度v₀．
（2）粒子进入偏转电场后，做类平抛运动，运用运动的合成与分解求出MN两饭间的距离d；
（3）求出粒子一直做加速运动穿过AB的时间，然后判断出能到达P的粒子的数目与发射总数的比值．

解答 解：（1）由动能定理可得：$q{U}_{1}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{\frac{2q{U}_{1}}{m}}$
（2）粒子进入偏转电场后做类平抛运动，竖直方向：$y=\frac{d}{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
其中：$a=\frac{qU}{md}$
在偏转电场中，水平方向：$\frac{1}{2}$L=v₀t
由以上三式可得：d=$\frac{qU}{md}•\frac{Lm}{2q{U}_{1}}$=$\frac{U{L}^{2}}{2d{U}_{1}}$
即：d=$L•\sqrt{\frac{U}{2{U}_{1}}}$
（3）由题意可知，只有在AB中一直做匀加速直线运动的粒子才能恰好到达P点，粒子穿过AB的时间t，则：
t=$\frac{{d}_{1}}{\frac{{v}_{0}}{2}}=\sqrt{\frac{2m{d}_{1}^{2}}{q{U}_{1}}}$
可知，只有在$\frac{T}{2}-t$前发射的粒子才能到达P点，其余的粒子不能到达P点，所以能从小孔P处飞的离子数目与发射总数的比值：
$\frac{{n}_{P}}{N}=\frac{\frac{T}{2}-t}{T}$
代入数据解得：$\frac{{n}_{P}}{N}=\frac{1}{8}$
答：（1）若U_AB=U₁（U₁为定值）求离子射入偏转电场时的速度为$\sqrt{\frac{2q{U}_{1}}{m}}$；
（2）若U_AB=U₁．离子恰能从极板N的中心小孔P处飞出．MN两饭间的距离d为$L•\sqrt{\frac{U}{2{U}_{1}}}$；
（3）若极板AB间所加电压随时间变化的规律如图乙所示．已知电压的变化周期T=$\sqrt{\frac{128{d}_{1}^{2}m}{9q{U}_{1}}}$．能从小孔P处飞的离子数目与发射总数的比值是$\frac{1}{8}$．

点评 本题关键是明确粒子的受力特点和运动规律，然后结合动能定理、类似平抛运动的分运动公式和几何关系列式求解．