Question

6．如图所示，置于竖直平面内的AB为光滑细杆轨道，它是以初速为v₀、水平射程为s的平抛运动轨迹制成的，A端为抛出点，B端为落地点．则A、B两端点的竖直高度差为$\frac{g{s}^{2}}{2{{v}_{0}}^{2}}$．现将小环a套在AB轨道的最上端，它由静止开始从轨道顶端滑下，则小环a从轨道末端出来的水平速度大小为$\frac{{gs{v}_{0}}^{\;}}{\sqrt{{（gs）}^{2}+{{v}_{0}}^{4}}}$．（重力加速度为g）

Answer 1

分析 通过平抛运动的规律求出下降的高度，根据动能定理求出物体到达底端的速度，根据平抛运动速度方向与水平方向夹角正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，求出落地时速度的方向，从而得出物体水平方向上的速度．

解答 解：平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，则t=$\frac{s}{{v}_{0}}$．
则下降的高度h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{g{s}^{2}}{2{{v}_{0}}^{2}}$．
根据动能定理得，mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
解得v=$\frac{gs}{{v}_{0}}$
设θ是轨道的切线与水平方向的夹角，即为平抛运动末速度与水平方向的夹角，
α是平抛运动位移方向与水平方法的夹角，根据平抛运动的结论有：tanθ=2tanα，
tanα=$\frac{h}{s}=\frac{gs}{2{{v}_{0}}^{2}}$，则tan$θ=\frac{gs}{{{v}_{0}}^{2}}$，由三角函数基本关系式得：cosθ=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{\sqrt{（gs）^{2}+{{v}_{0}}^{4}}}$
则把cosθ代入水平方向速度大小的关系式v_x=vcosθ得：v_x=$\frac{{gs{v}_{0}}^{\;}}{\sqrt{{（gs）}^{2}+{{v}_{0}}^{4}}}$
故答案为：$\frac{g{s}^{2}}{2{{v}_{0}}^{2}}$；$\frac{{gs{v}_{0}}^{\;}}{\sqrt{{（gs）}^{2}+{{v}_{0}}^{4}}}$

点评 解决本题的关键掌握平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，注意小球在轨道上的运动不是平抛运动．