Question

16．如图甲所示，一质量为m、带电量为q的正电粒子（不计重力），在图中t=0时刻从坐标原点O处以初速度v₀沿x轴正方向射入磁场中．已知磁场只有x≥0区域存在，磁感应强度的大小B₀不变，方向周期性变化，其变化规律如图乙所示，设粒子刚射入时的磁场方向恰好垂直纸面向里．

（1）当磁场的变化周期T=$\frac{πm}{q{B}_{0}}$时，求粒子在t=T时刻的位置．
（2）为使粒子不射出磁场，磁场的变化周期T应符合什么条件？

Answer 1

分析 （1）粒子进入磁场中做匀速圆周运动，由于磁感应强度的大小B₀不变，则粒子匀速圆周运动的半径不变．由洛伦兹力提供向心力，列式求出轨迹半径．由圆周运动的规律求出周期，画出粒子在磁场中的轨迹，由几何关系求出粒子在t=T时刻的位置．
（2）粒子恰好不射出磁场时，其轨迹与y轴相切，画出轨迹，求出磁场变化的最大周期，即可得解．

解答  解：（1）据题，磁感应强度的大小B₀不变，则知粒子匀速圆周运动的半径不变．由洛伦兹力提供向心力，得
  qv₀B₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，得 R=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$
粒子在磁场中运动的周期 T₀=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$
又由磁场变化的周期 T=$\frac{πm}{q{B}_{0}}$，得 T=$\frac{{T}_{0}}{2}$，则在T时间内粒子在磁场中运动轨迹如图1所示．
所以粒子在t=T时刻的位置：x=2R=$\frac{2m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$，y=2R=$\frac{2m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$．
即位置坐标为（$\frac{2m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$，$\frac{2m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$）．
（2）设磁场变化周期最大值为T_m．则粒子恰好不能从磁场射出，粒子在一个周期内的运动情景如图2所示，由对称知，粒子从O点到M点与从M到P点时间相等．
由sinθ=$\frac{R}{2R}$=0.5，θ=30°，α=150°
所以有 $\frac{{T}_{m}}{2}$=$\frac{150°}{360°}$T₀=$\frac{5πm}{6q{B}_{0}}$，解得 T_m=$\frac{5πm}{3q{B}_{0}}$
故磁场的变化周期T应满足：0＜T＜$\frac{5πm}{3q{B}_{0}}$．
答：
（1）当磁场的变化周期T=$\frac{πm}{q{B}_{0}}$时，粒子在t=T时刻的位置坐标为（$\frac{2m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$，$\frac{2m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$）．
（2）为使粒子不射出磁场，磁场的变化周期T应满足：0＜T＜$\frac{5πm}{3q{B}_{0}}$．

点评 本题是带电粒子在磁场中运动的问题，分析粒子的受力情况，确定其运动情况，关键是运用几何知识求解坐标．