Question

8．已知地球半径为R，表面重力加速度为g，一昼夜时间为T，万有引力常量为G，忽略地球自转的影响．试求：
（1）第一宇宙速度；
（2）近地卫星的周期；
（3）同步卫星高度；
（4）地球平均密度．

Answer 1

分析 （1）万有引力提供向心力，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以求出第一宇宙速度．
（2）根据线速度与周期的关系可以求出近地卫星的周期．
（3）万有引力提供向心力，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以求出同步卫星的轨道半径，然后求出卫星高度．
（4）先求出地球质量，然后应用密度公式求出地球的平均密度．

解答 解：地球表面的物体所受重力等于万有引力，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
解得：GM=gR²；
（1）由牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$；
（2）近地卫星的周期：T=$\frac{2πR}{v}$=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$；
（3）同步卫星做圆周运动万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+h），
解得高度为：h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R；
（4）地球的平均密度为：
ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$；
答：（1）第一宇宙速度为$\sqrt{gR}$；
（2）近地卫星的周期为2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$；
（3）同步卫星高度为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R；
（4）地球平均密度为$\frac{3g}{4πGR}$．

点评 本题考查了万有引力定律的应用；地球的第一宇宙速度是卫星绕地球表面做圆周运动的速度，卫星的轨道半径等于地球半径，这是解题的前提；应用万有引力定律与牛顿第二定律可以解题．