Question

19．如图所示，匀强磁场B₁垂直水平光滑金属导轨平面向下，垂直导轨放置的导体棒ab在平行于导轨的外力F作用下做匀加速直线运动，通过两线圈感应出电压，使电压表示数U保持不变．已知变阻器最大阻值为R，且是定值电阻R₂的三倍，平行金属板MN相距为d．在电场作用下，一个带正电粒子从O₁由静止开始经O₂小孔垂直AC边射入第二个匀强磁场区，该磁场的磁感应强度为B₂，方向垂直纸面向外，其下边界AD距O₁O₂连线的距离为h．已知场强B₂=B，设带电粒子的电荷量为q、质量为m，则高度h=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{mU}{2q}}$，请注意两线圈绕法，不计粒子重力．求：

（1）试判断拉力F能否为恒力以及F的方向（直接判断）；
（2）调节变阻器R的滑动头位于最右端时，MN两板间电场强度多大？
（3）保持电压表示数U不变，调节R的滑动头，带电粒子进入磁场B₂后都能击中AD边界，求粒子打在AD边界上的落点距A点的距离范围．

Answer 1

分析 （1）导体棒匀速运动，产生的感应电动势是定值，闭合回路的电流为恒定电流，只有穿过闭合回路的磁通量发生变化，闭合回路才能产生感应电流，据此分析答题．
（2）由于欧姆定律求出两板间的电势差，然后求出两板间的电场强度．
（3）由欧姆定律求出两极板间的最大电势差与最小电势差，由动能定理求出粒子进入右边磁场时的速度，粒子在磁场中做匀速圆周运动，应用牛顿第二定律求出粒子的轨道半径，然后分析答题．

解答 解：（1）ab棒不能做匀速运动，否则副线圈中没有感应电流，故ab棒做变速运动，ab棒做变速运动，产生的感应电动势是变化的，原线圈电流是变化的，ab棒受到的安培力是变力，ab棒做匀加速运动，由牛顿第二定律可知，ab棒受到的合外力为恒力，由于安培力是变力，则拉力F为变力；粒子带正电，粒子在两极板间加速，说明极板间的电场强度方向水平向右，M板电势高于N板电势，副线圈所在电路电流沿顺时针方向，由楞次定律与右手定则可知，ab棒应向左运动．
（2）变阻器最大阻值为R，且是定值电阻R₂的三倍，则：R₂=$\frac{1}{3}$R，
由图示电路图可知，两电阻串联，电压表测两电阻的总电压，
两极板间的电势差等于R₂两端电压，
电路电流：I=$\frac{U}{{{R_{1最大}}+{R_2}}}$=$\frac{U}{{R+\frac{1}{3}R}}$=$\frac{3U}{4R}$，
定值电阻两端电压：U₂=IR₂=$\frac{3U}{4R}$×$\frac{1}{3}$R=$\frac{U}{4}$，
极板间的电场强度：E=$\frac{U}{d}$=$\frac{U}{4d}$；
（3）滑片在最右端时，两极板间的电势差最小，
由（2）可知，最小电势差：U_min=$\frac{U}{4}$，
滑片在最左端时，极板间的电势差最大，U_max=U，
粒子在电场中加速，由动能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv²-0，
解得：v_min=$\sqrt{\frac{qU}{2m}}$，v_max=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，粒子轨道半径：r=$\frac{mv}{qB}$，
r_min=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{mU}{2q}}$，r_max=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$，
由题意可知：h=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{mU}{2q}}$，则：r_min=h，r_max=2h，
粒子运动轨迹如图所示：

由几何知识可得：AO₂=r_min=h，
AF=$\sqrt{r_{_{max}}^2-{{（{r_{max}}-h）}^2}}$=$\sqrt{{{（2h）}^2}-{{（2h-h）}^2}}$=$\sqrt{3}$h，
则：粒子打在AD边界上的落点距A点的距离范围是：h≤s≤$\sqrt{3}$h；
答：（1）F不能为恒力，F方向向左；
（2）调节变阻器R的滑动头位于最右端时，MN两板间电场强度为$\frac{U}{4d}$；
（3）粒子打在AD边界上的落点距A点的距离范围是：h≤s≤$\sqrt{3}$h．

点评 本题是一道电磁感应、电路、带电粒子在匀强磁场中运动的综合题，难度较大，分析清楚电路结构、应用欧姆定律、动能定理、牛顿第二定律即可正确解题，解题时注意几何知识的应用．