Question

17．2007年10月24日，中国第一颗探月卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心成功升空．已知月球的半径为R，当“嫦娥一号”到达距月球表面高R处时，地面控制中心将其速度调整为v₀，此时它恰能绕月球做匀速圆周运动．将月球视为质量分布均匀的球体．
求：（1）月球表面的重力加速度g．
（2）若 v₀=1.2km/s，求月球上的第一宇宙速度v．（ 取$\sqrt{2}$≈1.4）

Answer 1

分析 （1）在月球表面，重力等于万有引力；卫星的万有引力提供向心力；根据牛顿第二定律列式后联立求解即可；
（2）在月球表面，卫星的重力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解．

解答 解：（1）在月球表面，物体受到的万有引力等于重力，故：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
解得：
g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$   ①
“嫦娥一号”的轨道半径为：
r=2R    ②
由牛顿第二定律，有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$  ③
联立①②③解得：
g=$\frac{2{v}_{0}^{2}}{R}$
（2）月球的第一宇宙速度为v，则：
$\frac{GMm}{R^2}=m\frac{{v_{\;}^2}}{R}$
解得：
$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$  ⑤
联立①④⑤式可得：
v=$\sqrt{2}$v₀ ⑥
代入数据得：
v=1.68km/s 
答：（1）月球表面的重力加速度g为$\frac{2{v}_{0}^{2}}{R}$．
（2）若 v₀=1.2km/s，月球上的第一宇宙速度v为1.68km/s．

点评 对于卫星问题，关键是明确万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式分析即可，基础题目．