Question

9．月球环绕地球运动的轨道半径为地球半径的60倍，运行周期约为27天，应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地多高时，人造地球卫星随地球一起转动，就像停留在天空中不动一样？（R_地=6400km）

Answer 1

分析 月球和同步卫星都绕地球做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律列式求解即可．

解答 解：月球环绕地球运动的轨道半径为地球半径的60倍，运行周期约为27天；同步卫星的周期为1天；
根据开普勒第三定律，有：
$\frac{{{R}_{同}}^{3}}{{T}_{同}^{2}}=\frac{{{R}_{月}^{\;}}^{3}}{{T}_{月}^{2}}$
解得：
R_月=${\root{3}{{（\frac{{T}_{月}}{{T}_{地}}）}^{2}}}_{\;}$R_同=$\root{3}{2{7}^{2}}{R}_{同}$=9R_同
由于R_月=60R_地，故R_同=$\frac{60}{9}{R}_{地}$，故：
h=$\frac{51}{9}$R_地=$\frac{51}{9}×6400km$=36267km．
答：在赤道平面内离地36267km高时，人造地球卫星随地球一起转动，就像停留在天空中不动一样．

点评 本题关键是明确月球和同步卫星绕地球运动时符合开普勒第三定律，注意月球对的周期约为1个月．