Question

18．如图所示，质量为0.5kg的滑块（可视为质点）在离地面高h=3m的A点沿粗糙弧形轨道由静止开始下滑，经B点时的速度为6m/s，通过光滑水平轨道BC后，再沿着光滑的半圆轨道CD运动．已知水平轨道与弧形轨道在B点处相切，C、O、D三点在同一竖直线上，重力加速度g=10m/s²．
（1）滑块从A点到达B点过程中克服摩擦力所做的功W；
（2）设半圆轨道半径为0.5m，求滑块刚越过C点受到圆轨道支持力的大小F；
（3）要使滑块能够运动到半圆轨道的D点，求圆轨道半径R应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）对A到B的过程运用动能定理，求出滑块从A点到达B点过程中克服摩擦力所做的功；
（2）B、C两点的速度相等，结合牛顿第二定律求出滑块刚越过C点受到圆轨道支持力的大小；
（3）根据牛顿第二定律求出D点的临界速度，结合机械能守恒求出圆轨道半径R满足的条件．

解答 解：（1）对A到B的过程，运用动能定理得：
$mgh-W=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
代入数据解得：W=6J．
（2）BC部分光滑，可知B、C的速度相等，在C点，根据牛顿第二定律得：F-mg=m$\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得：F=$mg+m\frac{{{v}_{c}}^{2}}{R}=5+0.5×\frac{36}{0.5}N=41N$．
（3）从最高点飞出，设最高点速度为v′，根据$mg≤m\frac{v{′}^{2}}{R}$得：
$v′≥\sqrt{gR}$，
根据机械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mg•2R+\frac{1}{2}mv{′}^{2}$，
解得：$R≤\frac{{v}^{2}}{5g}=0.72m$．
答：（1）滑块从A点到达B点过程中克服摩擦力所做的功为6J；
（2）滑块刚越过C点受到圆轨道支持力的大小为41N；
（3）圆轨道半径R应满足的条件R≤0.72m．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律和机械能守恒的综合运用，知道最低点和最高点向心力的来源，运用牛顿第二定律和动能定理综合求解，难度中等．