Question

18．随着我国“嫦娥工程”启动，我国航天的下一目标是登上月球，古人幻想的“嫦娥奔月”将变成现实．假若宇航员登陆月球后，用弹簧秤称得质量为m的砝码重量为F，乘宇宙飞船在靠近月球表面的圆形轨道空间环绕月球飞行，测得其环绕周期为T，引力常量为G．根据上述数据，求月球的半径及及月球的质量M．

Answer 1

分析 先m物体在星球表面的重量等于万有引力列式，再根据万有引力定律和向心力公式，两式联立即可解题；

解答 解：着陆后用弹簧秤称出质量为m的物体的重力F，则$F=m{g}_{月}^{\;}$①
且$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m{g}_{月}^{\;}②$
因为近月飞行，故绕月运行的轨道半径r=R③
万有引力提供向心力知：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$④
综合①②③④得：$R=\frac{F{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}m}$
代入②得：$M=\frac{{F}_{\;}^{3}{T}_{\;}^{4}}{16{π}_{\;}^{4}G{m}_{\;}^{3}}$
答：月球的半径为$\frac{F{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}m}$，月球质量$M=\frac{{F}_{\;}^{3}{T}_{\;}^{4}}{16{π}_{\;}^{4}G{m}_{\;}^{3}}$

点评 该题考查了万有引力公式及向心力基本公式的直接应用，难度不大，属于基础题．