Question

6．一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状．此队员从山沟的竖直一侧，以速度v₀沿水平方向跳向另一侧坡面．如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy．已知，山沟竖直一侧的高度为h，坡面的抛物线方程为y=$\frac{1}{h}{x^2}$，探险队员的质量为m．人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g．
（1）求此人落到坡面试的动能；
（2）此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？

Answer 1

分析 （1）由平抛运动规律列出等式．由整个过程中根据由动能定理求解即可
（2）根据动能的表达式应用数学方法求解．

解答 解：（1）设探险队员跳到坡面上时水平位移为x，竖直位移为H，
由平抛运动规律有：x=v₀t，H=$\frac{1}{2}$gt²，
整个过程中，由动能定理可得：mgH=E_K-$\frac{1}{2}$mv₀²
由几何关系，y=2h-H
坡面的抛物线方程y=$\frac{1}{2h}$x²
解以上各式得：E_K=$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{4m{g}^{2}{h}^{2}}{{v}_{0}^{2}+gh}$
（2）将E_K=$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{4m{g}^{2}{h}^{2}}{{v}_{0}^{2}+gh}$改写为
${E_k}=\frac{1}{4}m（2v_0^2+gh）+\frac{{m{g^2}{h^2}}}{2v_0^2+gh}-\frac{1}{4}mgh$
$当\frac{1}{4}m（2v_0^2+gh）=\frac{{m{g^2}{h^2}}}{2v_0^2+gh}时$
$即v_0^{\;}=\sqrt{\frac{1}{2}gh}时$，
${E_{kmin}}=\frac{3}{4}mgh$
答：（1）此人落到坡面时的动能是：$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{4m{g}^{2}{h}^{2}}{{v}_{0}^{2}+gh}$
（2）此人水平跳出的速度为$\sqrt{\frac{gh}{2}}$时，他落在坡面时的动能最小，动能的最小值为$\frac{3mgh}{4}$

点评 本题主要考查平抛运动和动能定理的应用，以及函数最值的计算，意在考查考生的综合分析及数学计算能力．对学生应用数学规律解物理问题的能力要求较高．