Question

3．如图所示，一质量为M=5.0kg的平板车静止在光滑水平地面上，其右侧足够远处有一固定障碍物A，障碍物A与平板车的上表面等高．不计A的厚度．另一质量为m=1.0kg可视为质点的滑块，以v₀=8m/s的水平初速度从左端滑上平板车，同时对平板车施加一水平向右、大小为10N的恒力F．当滑块运动到平板车的最右端时，两者恰好相对静止．此时撤去恒力F．当平板车碰到障碍物A时立即停止运动，滑块水平飞离平板车后，恰能无碰撞地沿圆弧切线从B点切入光滑竖直圆弧轨道，B、D与地面等高，并沿轨道下滑．已知滑块与平板车间的动摩擦因数μ=0.5，圆弧半径为R=1.0m，圆弧所对的圆心角∠BOD=θ=106°，取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：

（1）障碍物A与圆弧左端B的水平距离．
（2）滑块运动圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小．
（3）滑块与平板车因摩擦产生的热量．

Answer 1

分析 （1）滑块在小车上运动时，对滑块和小车分别受力分析，由牛顿第二定律可以求得两者的加速度大小，根据匀变速直线运动的速度时间公式求出从开始到两者共速的时间，并求出共同速度，即为滑块飞离平板车做平抛运动的初速度．根据滑块到达B点时速度的方向，求到达B点的竖直分速度，求出平抛的时间，从而可求得障碍物A与圆弧左端B的水平距离．
（2）滑块从B到C的过程中，机械能守恒，由机械能守恒定律求出C点的速度，再根据向心力的公式可以求得在C点时滑块受到的支持力的大小，再由牛顿第三定律可得滑块对轨道的压力．
（3）由运动学公式求出滑块与平板车的相对位移，从而求得摩擦生热．

解答 解：（1）滑块做平板车上滑行时，由牛顿第二定律得：
对滑块有：a₁=$\frac{μmg}{m}$=μg=5m/s²．
对平板车有：a₂=$\frac{F+μmg}{M}$=3m/s²．
设经过时间t₁，滑块与平板车相对静止，共同速度为υ，则有：
υ=υ₀-a₁t₁=a₂t₁
解得：t₁=1s，υ=3m/s
滑块到达B点时速度沿圆弧的切线方向，即与水平方向的夹角为53°
则经过B点时竖直分速度为：v_y=vtan53°=4m/s
又由平抛运动的规律有：v_y=gt
得：t=0.4s
所以障碍物A与圆弧左端B的水平距离为：x=vt=1.2m
（2）在B点的速度的大小为：υ_B=$\sqrt{{v}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=5m/s
由B到C过程中，由机械能守恒定律得：
   $\frac{1}{2}$$m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=mgR（1-cos53°）
在C点处，由牛顿第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
由以上式子解得：N=43N，
由牛顿第三定律得滑块对轨道的压力为：N′=N=43N．
（3）滑块做平板车上滑行的过程中，滑块的位移为：x₁=$\frac{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}{-2{a}_{1}}$=$\frac{{3}^{2}-{8}^{2}}{-2×5}$m=5.5m
平板车的位移为：x₂=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{{3}^{2}}{2×3}$m=1.5m
两者的相对位移大小为：△x=x₁-x₂=4m
所以滑块与平板车因摩擦产生的热量为：Q=μmg△x=20J．
答：（1）障碍物A与圆弧左端B的水平距离是1.2m．
（2）滑块运动圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小是43N．
（3）滑块与平板车因摩擦产生的热量是20J．

点评 本题的关键要分析清楚滑块的运动过程和状态，根据物体的运动过程来逐段研究．要把握隐含的条件，如滑块到达B点时速度的方向，要注意摩擦生热与相对位移有关．