Question

12．如图所示，劲度系数为k的轻弹簧连着一个质量为M的物体在光滑水平面上振动，其振幅为A．若一块质量为m的粘土由静止状态粘到振子上，随后系统继续进行振动，试求在下列两种情况下系统继续振动的周期和振幅：
（1）当振子通过平衡位置时与粘土相粘；
（2）当振子在最大位移处时与粘土相粘．

Answer 1

分析 根据弹簧振子的周期公式T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$，m是振子的总质量，求解周期．根据水平方向动量守恒求出粘土粘到振子后共同速度，再由机械能守恒定律求振幅．

解答 解：（1）当振子通过平衡位置时与粘土相粘后，弹簧振子的振动周期为：T=2π$\sqrt{\frac{M+m}{k}}$．
设振子与粘土相粘前，通过平衡位置的速度为v₁，相粘后共同速度为v₂．振幅为A₁．相粘前，振子从平衡位置到最大位移处，由系统的机械能守恒有：
 $\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}k{A}^{2}$
取相粘前振子的速度方向为正，根据水平方向动量守恒得：
mv₁=（M+m）v₂．
粘合体从平衡位置到最大位移处的过程，由系统的机械能守恒得：
  $\frac{1}{2}$（M+m）v₂²=$\frac{1}{2}k{A}_{1}^{2}$
联立解得：A₁=$\sqrt{\frac{m}{M+m}}$A
（2）当振子在最大位移处时与粘土相粘后，弹簧振子的振动周期也为：
T=2π$\sqrt{\frac{M+m}{k}}$
在最大位移处振子的速度为零，系统的机械能即为弹簧的弹性势能，所以粘合后系统的机械能没有变化，振幅不变，仍为A．
答：（1）当振子通过平衡位置时与粘土相粘后振子的周期为2π$\sqrt{\frac{M+m}{k}}$；振幅为$\sqrt{\frac{m}{M+m}}$A．
（2）当振子在最大位移处时与粘土相粘后振子的周期为2π$\sqrt{\frac{M+m}{k}}$，振幅为A．

点评 解决本题的关键要明确粘合过程，系统水平方向的动量守恒，但总动量不守恒．粘合后系统的机械能是守恒的．