Question

20．一个半径为R、内壁光滑的$\frac{3}{4}$圆周玻璃管竖直固定在地面上，一质量为m的小球从A处静止释放，恰好从管口B紧贴内壁进入管内，最终从顶端D点水平飞出，落至地面上的E点且CE=4R，重力加速度为g，求：
（1）小球到达D点时的速度大小；
（2）小球到达D点时对玻璃管的作用力大小及方向；
（3）A点距地面的高度．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的规律求D的速度；
（2）根据牛顿第二定律求小球对玻璃管的作用力大小及方向
（3）根据动能定理求A点离D的高度，再求A点离地面的高度；

解答 解：（1）小球从D到E做平抛运动，有
水平方向：$4R={v}_{D}^{\;}t$
竖直方向：$2R=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
解得：${v}_{D}^{\;}=2\sqrt{gR}$
（2）小球到达D点受到重力和管的弹力，根据牛顿第二定律有
$mg+{F}_{N}^{\;}=m\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
解得：${F}_{N}^{\;}=3mg$
由牛顿第二定律可知，小球对玻璃管的作用力大小为3mg，方向竖直向上
（3）从A到D根据动能定理得
$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
得h=2R
H=h+2R=4R
答：（1）小球到达D点时的速度大小$2\sqrt{gR}$；
（2）小球到达D点时对玻璃管的作用力大小3mg及方向竖直向上；
（3）A点距地面的高度4R．

点评 本题主要考查了向心力公式及平抛运动的基本公式的直接应用，再判断管壁弹力方向时可以采用假设法，结果为正值与假设的正方向相同，难度不大．