Question

12．已知地球半径为R，表面重力加速度为g，一昼夜时间为T，万有引力常量为G，忽略地球自转的影响，试求：
（1）地球平均密度；
（2）第一宇宙速度；
（3）同步卫星高度；
（4）若某一时刻以第一宇宙速度运行的卫星恰好运动到同步卫星的正下方，再出现这种现象至少需要的时间．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力求出地球的质量，从而求出地球的平均密度；
（2）根据重力提供向心力求出地球的第一宇宙速度；
（3）根据万有引力提供向心力，抓住同步卫星的周期与地球自转周期相同，求出同步卫星的高度；
（4）分别求出以第一宇宙速度运行的角速度以及同步卫星的角速度，抓住两者转过的角度相差2π，得出再次出现这种现象的时间．

解答 解：（1）根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，地球的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
则地球的平均密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$．
（2）根据$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$．
（3）根据$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，同步卫星的高度h=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．
（4）以第一宇宙速度运行的角速度大小${ω}_{1}=\frac{v}{R}=\sqrt{\frac{g}{R}}$，同步卫星的角速度${ω}_{2}=\frac{2π}{T}$，
根据ω₁t-ω₂t=2π得，t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g}{R}}-\frac{2π}{T}}$．
答：（1）地球平均密度为$\frac{3g}{4πGR}$；
（2）第一宇宙速度为$\sqrt{gR}$；
（3）同步卫星高度为$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$；
（4）再次出现这种现象所需的时间为$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g}{R}}-\frac{2π}{T}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．