Question

9．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T．
（1）可见得A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m₁、m₂．试求m的值（用m₁、m₂表示）；
（2）求暗星B的质量m₂与可见星A的速率v、运行周期T和质量m₁之间的关系式；
（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m_s的两倍，它将有可能成为黑洞．若可见星A的速率v=2.7m/s，运行周期T=4.7π×10⁴s，质量m₁=6m_s，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（G=6.67×10^-11N•m/kg²，m_s=2.0×10³⁰kg）

Answer 1

分析 （1）抓住A、B做圆周运动的向心力相等，角速度相等，求出A、B轨道半径的关系，从而得知A、B距离为A卫星的轨道半径关系，可见星A所受暗星B的引力F_A可等效为位于O点处质量为m的星体（视为质点）对它的引力，根据万有引力定律公式求出质量m．
（2）根据万有引力提供向心力求出暗星B的质量m₂与可见星A的速率v、运行周期T和质量m₁之间的关系式；
（3）根据第（2）问的表达式求出暗星B的质量，与太阳的质量进行比较，判断是否是黑洞．

解答 解：（1）设A、B的圆轨道半径分别为r₁、r₂，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速相同，其为ω．由牛顿运动定律，
有：F_A=m₁ω²r₁，F_B=m₂ω²r₂，F_A=F_B
设A、B之间的距离为r，又r=r₁+r₂，由上述各式得：r=$\frac{{m}_{1}+{m}_{2}}{{m}_{2}}{r}_{1}$…①
由万有引力定律，有：F_A=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$，
将①代入得：F_A=$G\frac{{m}_{1}{{m}_{2}}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}{r}^{2}}$，令 F_A=$G\frac{{m}_{1}m}{{{r}_{1}}^{2}}$，比较可得：m=$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$…②
（2）由牛顿第二定律，有：$G\frac{{m}_{1}m}{{{r}_{1}}^{2}}={m}_{1}\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$…③
又可见星A的轨道半径为：r₁=$\frac{vT}{2π}$…④
由②③④式可得，$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$．
（3）将m₁=6m_s代入⑤式，得：$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{（6{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$，…⑤
代入数据得：$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{（6{m}_{s}+{m}_{2}）^{2}}$=3.5m_s…⑥
设m₂=nm_s，（n＞0），将其代入⑥式，得：$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{（6{m}_{s}+{m}_{2}）^{2}}=\frac{n}{（\frac{6}{n}+1）^{2}}{m}_{s}=3.5{m}_{s}$…⑦
可见，$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{（6{m}_{s}+{m}_{2}）^{2}}$的值随n的增大而增大，试令n=2，得：
$\frac{n}{（\frac{6}{n}+1）^{2}}{m}_{s}$=0.125ms＜3.5ms…⑧
若使⑦式成立，则n必须大于2，即暗星B的质量m₂必须大于2m_s，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞．
答：（1）m的值为$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$；
（2）暗星B的质量m₂与可见星A的速率v、运行周期T和质量m₁之间的关系式为$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$；
（3）暗星B有可能是黑洞．

点评 对于天体运动问题关键要建立物理模型．双星问题与人造地球卫星的运动模型不同，两星都绕着它们之间连线上的一点为圆心做匀速圆周运动，双星、圆心始终“三点”一线．