Question

17．如图在一足够大的真空玻璃罩中，光滑半圆形轨道竖直固定在光滑水平板面上（图中阴影部分），轨道半径为R，MN为直径且与水平面垂直，直径略小于圆管内径的小球A以某一速度冲进轨道，到达半圆轨道最高点M时与静止于该处的质量与A相同的小球B发生碰撞，碰后两球粘在一起飞出轨道，落在板面上的点距M点的水平距离为2R，重力加速度为g，忽略圆管内径，求：
（1）粘合后的两球从飞出轨道到落到板面上的时间t；
（2）小球A冲进轨道时速度v的大小．

Answer 1

分析 （1）粘合后的两球从飞出轨道后做平抛运动，而平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据高度求出平抛运动的时间．
（2）根据落地的水平位移求出结合体的初速度，根据动量守恒定律求出A球与B球碰撞前的速度，再根据机械能守恒定律求出小球A冲进轨道时速度v的大小．

解答 解  （1）粘合后的小球A和小球B，飞出轨道后做平抛运动，竖直方向分运动为自由落体运动，有：
  2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$-----------------①
解得：t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$------------------------②
（2）设球A的质量为m，碰撞前速度大小为v₁，把求A冲进轨道最点处的重力势能定为0，由机械能守恒定律知：
  $\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+2mgR--------------③
设碰撞后粘在一起的两球的速度为v₂，取向左为正方向，由动量守恒定律知：
  mv₁=2mv₂-----------------------④
飞出轨道后做平抛运动，水平方向分运动为匀速直线运动，有
  2R=v₂t----------------------------⑤
联立②③④⑤几式可得：v=2$\sqrt{2gR}$-----------------⑥
答：（1）粘合后的两球从飞出轨道到落到板面上的时间t是2$\sqrt{\frac{R}{g}}$；
（2）小球A冲进轨道时速度v的大小是2$\sqrt{2gR}$．

点评 本题综合考查了动量守恒定律、机械能守恒定律和平抛运动的规律，关键是理清物理过程，选择合适的规律进行求解．