Question

8．如图所示．固定斜面的倾角θ=30°，物体A与斜面之间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点．用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B．滑轮右侧绳子与斜面平行，A的质量为2m，B的质量为m，初始时物体A到C点的距离为L．现给A、B一初速度v₀＞$\sqrt{gL}$，使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C点，已知重力加速度为g，不计空气阻力，整个过程中，轻绳始终处于伸直状态．求：
（1）物体A向下运动刚到C点时的速度；
（2）弹簧的最大压缩量．

Answer 1

分析 （1）物体A向下运动到C点的过程中，A的重力势能及AB的动能都减小，转化为B的重力势能和摩擦产生的内能，根据能量守恒定律列式求出物体A向下运动刚到C点时的速度；
（2）从物体A接触弹簧到将弹簧压缩到最短后回到C点的过程中，弹簧的弹力和重力做功都为零，根据动能定理求出弹簧的最大压缩量．

解答 解：（1）A和斜面间的滑动摩擦力大小为 f=2μmgcosθ，物体A向下运动到C点的过程中，根据功能关系有：
2mgLsinθ+$\frac{1}{2}$•3mv₀²=$\frac{1}{2}$•3mv²+mgL+fL，
代入解得：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-gL}$．
（2）设弹簧的最大压缩量为x．从物体A接触弹簧，将弹簧压缩到最短后又恰回到C点，对系统应用动能定理，有：
-f•2x=0-$\frac{1}{2}$×3mv²
解得：x=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$-$\frac{L}{2}$．
答：（1）物体A向下运动刚到C点时的速度为$\sqrt{{v}_{0}^{2}-gL}$；
（2）弹簧的最大压缩量为$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$-$\frac{L}{2}$．

点评 本题关键是搞清能量如何转化的，可以先分清在物体运动的过程中涉及几种形式的能量，分析哪些能量增加，哪些能量减小，再判断能量如何转化．