Question

9．某行星绕太阳运动，近日点的速度是v，行星运动轨道的半长轴和半短轴分别是a和b，求：
（1）行星在远日点的速度v₁
（2）行星在半短轴处的速度v₂．

Answer 1

分析 行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，它和太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，运用微元法计算速度．

解答 解：根据开普勒第二定律，行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，它和太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等．如图所示，

分别以近日点A和远日点B为中心，取一个很短的时间△t，在该时间内扫过的面积如图中的两个曲边三角形所示．由于时间极短，可把这段时间内的运动看成匀速率运动，
从而有$\frac{1}{2}（a-c）v△t=\frac{1}{2}（a+c）{v}_{1}△t$，
所以，该行星经过远日点时的速度大小为${v}_{1}=\frac{a-c}{a+c}v$．
同理，如图

${v}_{2}=\frac{a-c}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}v$．
答：（1）行星在远日点的速度为$\frac{a-c}{a+c}v$，
（2）行星在半短轴处的速度为$\frac{a-c}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}v$．

点评 本题要掌握椭圆方程及椭圆的数学含义，知道微元的思想方法．