Question

19．如图甲所示，平行直线PQ、MN相距为d，内有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面．在苴线PQ的O点处有一粒子源，同时向各个方向均匀发射质量为m，电荷量为q，速度大小相同的粒子，重力不计，边界存在磁场，
（1）某粒子自O点垂直直线PQ射入磁场中，求它可能在磁场中运动的最长时间．
（2）若所有粒子均未穿出直线MN，则粒子的速度满足什么条件？
（3）若直线PQ、MN之间的磁场分布在以O为圆心、以d为半径的半圆形区域内（如图乙），且粒子源某时刻发出的粒子中有$\frac{2}{3}$不能穿过直线MN，求粒子的速度．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，轨迹对应的圆心角越大，则运动的时间越长，故从PQ离开磁场使轨迹对应的圆心角最大，时间最长；
（2）所有粒子均未穿出直线MN，临界情况对应的轨迹与MN相切，结合几何关系得到轨道半径，再根据牛顿第二定律列式分析；
（3）粒子源某时刻发出的粒子中有$\frac{2}{3}$不能穿过直线MN，则临界情况对应的轨迹的初速度与直线QQ成60°角，离开磁场时速度方向应平行直线MN，画出临界轨迹，结合几何关系和牛顿第二定律列式分析．

解答 解：（1）当粒子能够运动半周返回直线PQ时，时间最长．
由牛顿第二定律得      qvB=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，
另外周期     T=$\frac{2πR}{v}$
故T=$\frac{2πm}{qB}$
可能的最长运动时间  t=$\frac{T}{2}$=$\frac{πm}{qB}$；
（2）设粒子初速度为v₁，方向平行直线PQ时，轨迹与直线MN相切，
则圆的半径R₁=$\frac{d}{2}$；
由牛顿第二定律得：qv₁B=$m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$，
故v₁=$\frac{qBd}{2m}$；
粒子的速度应满足  v≤$\frac{qBd}{2m}$；
（3）设粒子速率为v₂，半径为R₂，当初速度方向与直线QP成60°角时，离开磁场时速度方向应平行直线MN．

由几何关系得 θ=60°；
2 R₂sinθ=d，
由牛顿第二定律得  qv₂B=$m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{2}}$；
故v₂=$\frac{\sqrt{3}qBd}{3m}$；
答：（1）某粒子自O点垂直直线PQ射入磁场中，它可能在磁场中运动的最长时间为$\frac{πm}{qB}$．
（2）若所有粒子均未穿出直线MN，则粒子的速度满足条件：v≤$\frac{qBd}{2m}$；
（3）粒子的速度为$\frac{\sqrt{3}qBd}{3m}$．

点评 本题是粒子在磁场中运动的动态圆分析问题，关键是画出运动轨迹，结合几何关系分析临界情况，根据牛顿第二定律列式分析．