Question

1．为了测量某行星的质量和半径，宇航员记录了登陆舱在该行星表面做圆周运动的周期T，登陆舱在行星表面着陆后，用弹簧测力计称量一个质量为m的砝码，读数为F．已知引力常量为G．则下列正确的是（　　）

• A． 该行量的质量为$\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}G{m}^{3}}$
• B． 该行星的半径为$\frac{4{π}^{2}F{T}^{2}}{m}$
• C． 该行星的密度为$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• D． 该行星的第一宇宙速度为$\frac{FT}{2πm}$

Answer 1

分析 登陆舱在该行星表面做圆周运动，根据牛顿第二定律列式；在星球表面，用弹簧称称量一个质量为m的砝码读数为F，根据重力等于万有引力列式；联立求解出质量和半径；第一宇宙速度是星球表面轨道卫星的环绕速度．

解答 解：B、据F=mg₀=$m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，得R=$\frac{F{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}m}$，故B错误．
A、由$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$=$m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，得M=$\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，又R=$\frac{F{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}m}$，则M=$\frac{{F}_{\;}^{3}{T}_{\;}^{4}}{16{π}_{\;}^{4}G{m}_{\;}^{3}}$，故A正确．
CD、密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$．第一宇宙速度v=$\sqrt{{g}_{0}^{\;}R}$=$\frac{FT}{2πm}$，故CD正确．
故选：ACD

点评 对于卫星问题，关键值记住两点：卫星的万有引力提供向心力；在星球表面，重力等于万有引力．