Question

18．光滑管状轨道ABC由直轨道AB和圆弧形轨道BC组成，二都在B处相切并平滑连接，O为圆心，O、A在同一条水平线，OC竖起，一直径略小于圆管直径的质量为m的小球，用细线穿过管道与质量为M的物块连接，将小球由A点静止释放，当小球运动B处时细线断裂，小球继续运动，已知弧形轨道的半径为R=$\frac{8}{3}$m，所对应的圆心角为53°，sin53°=0.8，g=10m/s²．
（1）若M=5m，求小球在直轨道部分运动时的加速度大小；
（2）若M=5m，求小球在C点抛出后下落高度h=$\frac{4}{3}$m时到C点的水平位移；
（3）M、N满足什么关系时，小球能够运动到C点？

Answer 1

分析 （1）对小球受力分析，根据牛顿第二定律可求得加速度大小；
（2）由几何关系分析AB的长度，再由运动学公式可求得B点的速度，再对BC过程由机械能守恒定律，离后C后的平抛运动进行分析，联立可求得离开C后的水平位移；
（3）对小于由A到B的过程以及线断后过程进行分析，根据机械能守恒定律列式，联立可求得M与m之间的关系．

解答 解：（1）设细线中张力为F，对小球：F-mgsin53°=ma      
对物块：Mg-F=Ma              
联立解得：a=7m/s²
（2）在Rt△OAB中，得：x_AB=$\frac{R}{tan53°}$；
由v²=2ax_AB代入数据解得：v=2$\sqrt{7}$m/s；
从B到C，根据机械能守恒，有：
$\frac{1}{2}$mv₂=$\frac{1}{2}$mv_C²+mgR（1-cos53°）
小球离开C后做平抛运动，有：
x=v_Ct        
h=$\frac{1}{2}\\;g{t}^{2}$    
联立并代入数据解得：X=$\frac{4}{3}$m               
（3）小球A→B：M、m系统机械能守恒，有：
$\frac{1}{2}$（M+m）v²=Mgx_AB-mgx_ABsin53°
线断后，小球B→C，
0-$\frac{1}{2}$mv²=-mg（1-cos53°）
联立，解得：M $≥\frac{20}{7}$m．
答：（1）若M=5m，求小球在直轨道部分运动时的加速度大小为7m/s²
（2）若M=5m，求小球在C点抛出后下落高度h=$\frac{4}{3}$m时到C点的水平位移$\frac{4}{3}$m；
（3）M、N满足M $≥\frac{20}{7}$m时，小球能够运动到C点．

点评 本题综合考查机械能守恒、牛顿第二定律以及平抛运动规律，此类问题一定注意做好受力分析以及过程分析，然后根据题意灵活选择物理规律即可正确求解．