Question

19．如图所示的直角坐标系中，在直线x=-2a到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴正方向，x轴下方的电场方向沿y轴负方向．一群电荷量为-q、质量为m的粒子被加速电压U₀加速后，从电场左边界上A（-2a，a）到C（-2a，0）区域内，依次连续沿x轴正方向射入有界匀强电场．从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A′（0，-a）沿x轴正方向射出有界匀强电场，其轨迹如图所示．不计粒子的重力及它们间的相互作用
（1）求匀强电场的电场强度E的大小．
（2）粒子在AC间的位置坐标y为何值时，粒子通过电场后速度沿x轴正方向？
（3）若以直线x=2a上的某点为圆心的圆形区域内，存在垂直xOy平面向里的匀强磁场，使沿x轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2a与圆形磁场边界的一个交点处而被收集，求圆形磁场区域的最小面积S_min及相应磁感应强度B的大小．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求加速后粒子的速度．粒子进入上方的匀强电场中做的是类平抛运动，水平方向上是匀速运动，由匀速运动的规律可以求得粒子的运动的时间；
竖直方向作匀加速直线运动，根据位移公式和对称性列式求解．
（2）粒子通过电场后速度沿x轴正方向必须满足：2a=n•2△x，△x是粒子第一次到达x轴时水平位移，再结合类平抛运动的分位移规律求解．
（3）根据上题的结论讨论分析粒子沿x轴正方向射出的坐标，由几何知识分析和求解圆形磁场区域的最小面积S_min．根据匀速圆周运动的规律可以求得磁感应强度的大小．

解答 解：（1）设粒子加速后速度大小为v₀，据动能定理有 qU₀=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
设粒子由A运动到A′的时间为t，据类平抛运动的规律和对称性得：
x方向有 2a=v₀t
y方向有 2a=2×$\frac{1}{2}•$$\frac{qE}{m}（\frac{t}{2}）^{2}$
解得 E=$\frac{4{U}_{0}}{a}$
（2）设满足条件的粒子到C点的距离为△y，粒子第一次到达x轴的时间为△t，水平位移为△x，则有
△x=v₀△t
△y=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}（△t）^{2}$
当满足 2a=n•2△x时，粒子从电场射出时速度方向必沿x轴正方向
解得△y=$\frac{1}{{n}^{2}}$•$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}•（\frac{a}{{v}_{0}}）^{2}$=$\frac{a}{{n}^{2}}$
则 y=$\frac{a}{{n}^{2}}$（n=1，2，3，…）
（3）如图所示，当n=1时，粒子沿x轴正方向射出的坐标为 y₁=-a．
当n=2时，粒子沿x轴正方向射出的坐标为 y₂=$\frac{a}{4}$．
当n≥3时，沿x轴正方向射出的粒子必分布在y₁到y₂之间，y₁到y₂之间的距离 L=y₂-y₁=$\frac{5}{4}$a
故磁场的最小半径 R_min=$\frac{L}{2}$=$\frac{5}{8}$a
磁场的最小面积为 S_min=$π{R}_{min}^{2}$=$\frac{25π{a}^{2}}{64}$
如图所示，欲使粒子磁场偏转后汇聚于一点，粒子运动半径与磁场圆半径应相等，图中轨迹圆与磁场圆相交，四边形PO₁QO₂为菱形．
据洛伦兹力提供向心力，有qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得 B=$\frac{8}{5a}\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$
答：
（1）匀强电场的电场强度E的大小为$\frac{4{U}_{0}}{a}$．
（2）粒子在AC间的位置坐标y=$\frac{a}{{n}^{2}}$（n=1，2，3，…）时，粒子通过电场后速度沿x轴正方向．
（3）形磁场区域的最小面积S_min是$\frac{25π{a}^{2}}{64}$，相应磁感应强度B的大小为$\frac{8}{5a}\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$．

点评 本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，要掌握住半径公式、周期公式，画出粒子的运动轨迹后，几何关系就比较明显了．