Question

10．如图所示，在xOy平面内，以O₁（-R，0）为圆心，R为半径的圆内有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，在y轴的右侧等腰三角形OAB区域内，存在一方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场，其右边界AB与y轴平行，∠AOB=120°，边界AB与X轴相交于C点，两区域磁感应强度大小相等．在圆心磁场的上册-2R＜x＜0的区间内有一粒子发射器，该发射器中在平行于x轴的方向上均匀分布着一簇带电粒子，其质量为m、电荷量为q（q＞0），这写粒子在控制其的控制下能以v₀的速度同时沿y轴负方向射入圆形磁场区域．在第二象限内x＜-2R的某一区域内存在一个水平加速电场，该电场的电压为U，一质量也为m、电荷量也为q（q＞0）的S粒子，在该电场中由静止加速后以某一速度打到控制器的触发器上（图中未画出），控制器就发射粒子，这些粒子经圆形磁场区域偏转后都从0点进入y轴右侧，部分粒子进入OAB区域内．不计粒子重力和粒子间的相互作用．求：
（1）S粒子打击触发器时速度v的大小；
（2）磁场的磁感应强度B的大小；
（3）若OC=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$）R，则进入OAB区域内的粒子能从AB边射出区域的长度．（结果可用根式表示）

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中加速，由动能定理可以求出粒子的速度．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出磁感应强度．
（3）作出粒子运动轨迹，根据粒子运动轨迹应用几何知识求出射出区域的长度．

解答 解：（1）粒子在电场中加速，由动能定理得：
qU=$\frac{1}{2}$mv²-0，解得：v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）设一粒子自磁场边界D点进入磁场，该粒子由O点射出圆形磁场，
轨迹如图1所示，过D点做速度的垂线长度为r，E为该轨迹圆的圆心．
连接DO₁、EO，可证得DEOO₁为菱形，根据图中几何关系可知：
粒子在圆形磁场中的轨道半径：r=R，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B=$\frac{mv}{qR}$；
（3）由分析得沿OA方向进入OAB区域内的粒子打在G点（最上端），
圆心为O₃，设O₃G与AB成α角；
当粒子速度方向与x轴成θ时，粒子以O₄为圆心做圆周运动，
期轨迹恰好与AB相切于J点（最下端），如图2所示，由几何关系得：
OC=Rcos30°+Rsinα=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$）R，OC=Rsinθ+R=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$）R，
解得：sinα=$\frac{1}{2}$，sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$，

由几何关系得进入OAB区域内的粒子能从AB边射出区域的长度：
GJ=Rcosα-Rsin30°+Rcosθ，解得：GJ=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$+$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}$）R；
答：（1）S粒子打击触发器时速度v的大小为$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）磁场的磁感应强度B的大小为$\frac{mv}{qR}$；
（3）若OC=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$）R，则进入OAB区域内的粒子能从AB边射出区域的长度为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$+$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}$）R．

点评 本题考查带电粒子在磁场和电场中的运动，要注意电子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹对应的圆心角等于速度的偏向角．粒子在电场加速，分析清楚粒子的运动过程，作出粒子的运动轨迹，应用动能定理、牛顿第二定律可以解题，解题时注意几何知识的应用，作出粒子运动轨迹是正确解题的前提与关键．