题目内容

4．一个圆沿一直线无滑动地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线．在竖直平面内有xOy坐标系，空间存在垂直xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m、电荷量为+q的小球从坐标原点由静止释放，小球的轨迹就是摆线．小球在O点速度为0时，可以分解为大小始终相等的一水平向右和一水平向左的两个分速度，如果速度大小取适当的值，就可以把小球的运动分解成以v0的速度向右做匀速直线运动和从O点以v1为初速度做匀速圆周运动两个分运动．设重力加速度为g，下列式子正确的是（　　）
A．速度v0所取的适当值应为$\frac{mg}{2qB}$
B．经过t=$\frac{2πm}{qB}$第一次到达摆线最低点
C．最低点的y轴坐标为y=$\frac{-{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$
D．最低点的速度为2v0

分析 初速度为零，将其分解为向右的v0的速度和向左的等大的速度，其中向右的v0的速度对应的洛伦兹力与重力平衡，做匀速直线运动；向左初速度与磁场垂直，做匀速圆周运动；实际运动是这两个分运动的合运动．根据小球运动过程，应用平衡条件、牛顿第二定律与动能定理解题．

解答 解：A、实际运动可以分解为向右的匀速直线运动和初速度向左的匀速圆周运动；
对于匀速直线运动，洛伦兹力与重力平衡，根据平衡条件得：mg=qv0B，解得：v0=$\frac{mg}{qB}$，故A错误；
B、匀速圆周分运动的周期为：T=$\frac{2πm}{qB}$，经过t=$\frac{1}{2}$T=$\frac{πm}{qB}$，粒子第一次到达最低点，故B错误；
C、匀速圆周分运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：qv0B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，解得：R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$；
故最低点坐标为：y=-2R=-$\frac{2{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$，故C错误；
D、洛伦兹力不做功，只有重力做功，从O到最低点过程，由动能定理得：mg•2R=$\frac{1}{2}$mv2-0，解得：v=2v0，故D正确；
故选：D．

点评 本题考查了带电小球在重力场与磁场中的运动，本题是一道信息给予题，认真审题，从题目中获取所需信息是正确解题的前提；本题解题的关键是：将带电粒子的运动分解为向右的匀速直线运动和初速度向左的匀速圆周运动，要求能正确理解两个分运动的独立性；本题难度较大，是一道难题．

练习册系列答案
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