Question

12．如图所示，在竖直放置的半径为R，光滑半圆弧形绝缘细管的圆心处放一点电荷，将质量为m、带电荷量为q的小球从圆弧管水平直径的端点A由静止释放，当小球沿细管下滑到最低点时，对细管的上壁的压力恰好与球重相同，求：
（1）小球从A到半圆弧最低点过程，电场力做的功．
（2）小球在半圆弧最低点的速度大小．
（3）圆心处的电荷在圆弧管内产生的电场的场强大小．

Answer 1

分析 （1）电场力与速度的方向总是垂直的，则电场力不做功；
（2）对小球从A到最低点运用动能定理，求出小球在B点时的速度．
（3）小球做圆周运动时沿半径方向上的合力提供向心力，在最低点，运用牛顿第二定律求出最低点的电场强度，点电荷的产生的电场在A到最低点圆弧中点处的电场强度于最低点的场强大小相等．

解答 解：（1）由A到最低点，受力分析，重力、弹力与电场力，由于弹力及电场力与速度的方向总是垂直，则弹力与电场力不做功，则W_电=0，
（2）由A到最低点的过程中，由动能定理得：mgR=$\frac{1}{2}$mv²-0
解得，v=$\sqrt{2gR}$．
（3）在最低点，对小球由牛顿第二定律得：qE-mg-N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入v解得：E=$\frac{4mg}{q}$．
点电荷Q形成的电场，由E=k$\frac{Q}{{r}^{2}}$得到，等势面上各处的场强大小均相等，即圆弧管内产生的电场的场强大小E．
答：（1）小球从A到半圆弧最低点过程，电场力做的功为0．
（2）小球在半圆弧最低点的速度大小为$\sqrt{2gR}$；
（3）圆心处的电荷在圆弧管内产生的电场的场强大小为$\frac{4mg}{q}$．

点评 本题是动能定理和牛顿定律综合的问题，考查学生的综合运用能力．运用动能定理解题要合适地选择研究过程列表达式求解．